2015大学物理上复习(4)

(答：

vvvvvvB?dl??I，B?dl?0，B0蜒?????dl?2?0I?

abc6（3分） 有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流为I， 且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向正相反，则

（1）在r＜R1处磁感强度大小为 ；（答：μ0rI/（2πR12） （2）在r＞R3处磁感强度大小为 . （答：0）

7（3分）一条无限长载流导线折成如图示形状，导线上通有电流I=10A，A点在水平导线的延长线上，它到折点的距离d=2cm，则A点的磁感强度B________．

8（3分）沿着图示的两条不共面而彼此垂直的无限长的直导线，通过电流强度I1=3A和I2=4A的电流.

在距离两导线皆为d=20cm处的A点处，磁感强度的大小B= . （答：25?0/2?） 9（5分）图示相距为a通电流为I1和I2的两根无限平行载流直导线，（1）写出 电流元I1dl1对电流元I2dl2的作用力的数学表达式；（2）推出单位长度上受力的公式.

d*A vv vvv?0I1dl1?rvvv12解（1）dF?dB?Idl? ?Idl121222234?r12（2）

dF12?B12I2dl2?dF12?B1I2dl2sin? ??90?,sin??1

?0I1I2dl2dF12?0I1I22πa ? dl2?2πa

10（4分）A、B、C为三根平行共面的长直导线，导线间距d=10cm，它们通过的电流分别为IA=IB=5A，IC=10A，其中IC与IA、IB的方向相反，每根导线每厘米所受的力的大小

dFA= （答：0） dFB= （答：15×10-7 N/ cm2）

dldldFC= （答：-15×10-7 N/ cm2）(μ0=4π×10-7 N/A2) dl a y b 45 ° v45°B O I x

11（3分）如图，一根载流导线被弯成半径为R的1/4圆弧，放在磁感强度为B的均匀磁场中，则载流导线ab所受磁场的作用力的大小为_______，方向________．[答：2BIR (2分) 沿y轴正向 (1分) ]

12（3分）如图所示，在真空中有一半径为a的3/4圆弧形的导线，其中通以稳 恒电流I，导线置于均匀外磁场B中，且B与导线所在平面垂直．则该载流导 线bc所受的磁力大小为_____．（答2aIB） 三 计算题

1（5分）将通有电流I = 5.0 A的无限长导线折成如图形状，已知半圆环的半径 为R=0.10m. 求圆心O点的磁感强度

vv I a O a b vc B 16

解：O处总磁感强度B=Bab+Bbc+Bcd，方向垂直向里 1分 而 Bab?vvvv?0I4?a(cos?1?cos?2)

bIaO?Q?1?0,?2?,a?R ?Bab??0I 1分

24?R?I又 Bbc?0 1分

4R因O在cd延长线上Bcd?0， 因此 B??0I??0I?2.1?105T 2分

cd 4?R4R2（5分）半径R的均匀环形导线在b、c两点处分别与两根互相垂直的载流导线相连接，已知环与二导线共面，如图所示若直导线中的电流强度I，求：环心O处磁感强度大小和方向. 解：ab和cd两部分流在O点产生的磁场方向相同，相当于一根直载流导线在O点产生的磁场：B1=?0I /(2?R) 1分

bc两段在O点产生的磁场大小相等，方向相反而抵消． 2分 所以O点的磁感强度为B=B1=?0I /(2?R) 方向垂直纸面向外． 2分

3（5分）如图，1、3为半无限长直载流导线，它们与半圆形载流导线2相连. 导线1在xOy平面内，导线2、3在Oyz平面内.试指出电流元Idl1,Idl2,Idl3在O点产生的dB的方向，并写出此载流导线在O点的总磁感强度（包括大小和方向）.

vvvvvv解：电流元Idl1在O点产生dB1的方向为?（-z方向）

vv电流元Idl2在O点产生dB2的方向为?（-x方向）

vv电流元Idl3在O点产生dB3的方向为?（-x方向） 3分

B??

vv?Iv(??1)i?0k 2分 4?R4?R?0I4（5分）如图平面闭合回路由半径为R1及R2 (R1 > R2 )的两个同心半圆弧和两个直导线段组成．已知两个直导线段在两半圆弧中心O处的磁感强度为零，且闭合载流回路在O处产生的总的磁感强度B与半径为R2的半圆弧在O点产生的磁感强度B2的关系为B = 2 B2/3，求R1与R2的关系．

解：由毕奥－萨伐尔定律可得，设半径为R1的载流半圆弧在O点产生的磁感强度为B1，则

B??0I (1分) , 同理 B??0I 1分

124R14R2∵

R1?R2 ∴ B1?B2

?0I?故磁感强度 B?B2?B1? 1分

4R24R16R2

∴ R1?3R2 2分

5（10分）如图平面闭合回路由半径为R1及R2 (R1 > R2 )的两个同心圆弧和两个直导线段组成. 求闭合载流回路在O处产生的总的磁感强度B

?0I??0I 17

6（8分）将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图的形状，求D点的磁感强度的大小. 解: 其中3/4圆环在D处的磁感强度 AB段在D处的磁感强度

B1?3?0I 2分 ?42a A a D b BI Cc ?I2 2分 ?3? B2?(cos?cos)?0?4?b244?b22 2分

4?b2?I3?2三部分磁感强度方向相同, 可知D处的磁感强度为B?0(?) 2分

4?2ab同理: BC段在D处的磁感强度 B3??0I?0I?7（10分）一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其中第二段是半径为R的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I，求图中O点处的磁感强度．

解：将导线分成1、2、3、4四部份，各部分在O点产生的磁感强度设为B1、B2、B3、B4．根据叠加原理

vvvvvO点的磁感强度为：B?B1?B2?B3?B4

∵ B1、B4均为0，故B?B2?B3 2分

vvvvv 2 3 1?0I 方向??????????????????????????????????2分 B2?()R a

42R1 4 O R ?0I2?0I?0II B3?(cos?1?cos?2)?2? 方向?????????2分 ?2 4?a4?R2?RR?23?2，cos?1?cos?，cos?2?cos??

42422

其中 a?∴

B??0I8R??0I2?R??0I11(?) 方向 ? 2分 2R4?8（10分）横截面为矩形的环形螺线管，高度为b,芯圆环内外半径分别为R1和 R2芯子材料的磁导率为μ，导线总匝数为N，绕得很密，若线圈通电流I，求处（1）芯子中的B值和芯子截面的磁通量（2）在r≤R1，r≥R2处的B值

解：(1)螺绕环内的磁场具有轴对称性,故在环内作与环同轴的安培环路.有

B?d l=2?rB=?0?Ii=?0NI B=?0NI/(2?r) 3分

? l取面积微元bdr平行与环中心轴, 通过此小截面的磁通量有

dΦm?BdS??NI2?rbdr

18

R2穿过截面的磁通量 ?m=

R1??0NIb2?rdr??0NIb2?lnR2 5分 R1(2) 根据对称性分析和安培环路定律，作圆形回路, 由于

?Ii?0

B?2?r?0 ∴ B = 0 2分

9（10分）一无限长柱形铜导线（磁导率?0），半径为R，通有均匀分布的电流I. 今取一矩形平面S（长为

1m，宽为2R），位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量. 解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小，由安培环路定律可得： B??0I2?R2r(r?R) 3分

因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通

vvR?0I?0I 2分

Φ1??B?dS??rdr?2?R24?0在圆形导体外，与导体中心轴相距为r处的磁感强度的大小为

B??0I2?r(r?R) 2分

因而穿过导体外画斜线部分平面的磁通 Φ?B?dS?2?vv2R?2?rdr?R?0I?0I2?ln2 1分

穿过整个矩形平面的磁通量 Φ?Φ1?Φ2??0I4???0I2?ln2 1分

10（10分）一平面线圈的半径为0.2m的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流2A，把它放在磁感强度为0.5T的均匀磁场中，求：(1)线圈平面与磁场如图垂直时，圆弧AC段所受的磁力.(2) 线圈平面与磁场B成60°时，直角线圈所受的磁力矩.

解 (1) 圆弧AC所受的磁力：在均匀磁场中AC通电圆弧所受的磁力与通有相同电流的AC直线所受的磁

力相等，故有

FAC = F?I2RB?0.283N 3分

ACv方向：与AC直线垂直（或与OC夹角45°）． 1分

vv?2v(2) 线圈的磁矩为 pm?ISn?2??10n

vFAC C 本小问中设线圈平面与B成60°角，则pm与B成30°角，有力矩 ?? v

vv

vvv方向：力矩M将驱使线圈法线转向与B平行. 1分

vv-2 v B M?pm?B?pmBsin30? =1.57×10 N·m 3分 A O

11（10分）如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd相互平行，相距为3r，今有载流I3的导线MN=r，水平放置，且其两端MN分别与I1和I2的距离都是r，ab、 cd和MN共面，求导线MN上所受的磁力大小和方向.

解: 导线MN上任一点出磁感强度大小为 B?MN上电流元I3dx所受磁力:

?0I12?(r?x)??0I22?(2r?x) 3分

dF?I3Bdx?I3[?0I12?(r?x)??0I22?(2r?x)]dx 2分

19

rF?I3?[0?I?I2rr?0I1?0I2?]dx?03[I1ln?I2ln]?03(I1?I2)ln2 3分

2?r2r2?2?(r?x)2?(2r?x)vv若I1>I2, 则F的方向向上, 若I1

12（10分）半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力．

解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为B=?0I1/(2?r) 取xOy坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：B=?0I1/(2?Rsin?)，方向垂直纸面向里. 2分 式中? 为场点至圆心的联线与y轴的夹角．半圆线圈上dl段线电流所受的力为：

y dFy dF O R I1 dFx vv?0I1I2 dF?I2dl?B?I2Bdl?Rd? 2分

2πRsin? 根据对称性知： Fy =?dFy?dFcos??0 2分

ππ??x Fx??dFx??dFsin???00π?0I1I22πRsin?0Rsin?d???0I1I22

I2

故半圆线圈受I1的磁力：F??0I1I22，方向垂直I1向右. 4分

电磁感应复习

（一）要点

一、 法拉第电磁感应定律 εi =-d? /dt (εi =-dΨ/dt, Ψ=N?) ;

Ii =εi /R=-(1/R)d?/dt, qi=

二、动生电动势 εi = ?l v×B·dl 三、感生电动势 εi =-d? /dt =?感生电场(涡旋电场)Ek的性质：

?t2t1Iidt=(1/R)(?1-?2); 楞次定律(略).

??Svv?B?t?dS；

?vvvv-----电磁感应定律的数学形式 ??B?t?dSE?d l=?S??kl??感生电场为无源场、有旋场(非保守场)，其电场线为闭合曲线. 圆柱空间中沿轴向的均匀磁场随时间变化时产生的感生电场:

r≤R E=-(r/2)dB/dt, r≥R E=-[R/ (2r)]dB/dt. 四、自感 L=Ψ/I, ε=-LdI /dt ;

互感 M=?21/I1 =?12/I2 , ε21=-M dI1 /dt ,ε12=-M dI2 /dt. 五、磁场能量：自感磁能 Wm=LI2 /2, 磁能密度 wm=B / 2? 0 ,

磁场空间的磁能 Wm=?V wmdt=?V( B/2?0) dt

六、位移电流 Id=d?d/dt, jd=?D/?t, 电位移通量: ?d=?S D?dS （二）练习 一 选择题

l b 2

2

2

vv1（答D）如图，长度为l的直导线ab在均匀磁场B中以速度v移动，直导线ab

中的电动势为

(A) Blv．(B) Blv sin?．(C) Blv cos?． (D) 0．

2（答D）M、N为水平面内两根平行金属导轨，ab与cd为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线. 外磁场垂直水平面向上. 当外力使ab向右平移时，cd

(A) 不动． (B) 转动．

??? a v vvB

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