2015大学物理上复习(3)

lqdx?qq2lVP??ln(l?a?x)l?l?ln(1?) 4分 ?8??0l?l(l?a?x)8??0l8??0la解2：建立如图坐标

x q2lqVP????0la?2l?adxq2l?ln(1?) x???0la aP?o

6（10分）图示两个同轴带电长直金属圆筒，内、外半径分别为R1和 R2，两筒间为空气，内、外筒电势分别为V1=2V0，V2=V0，V0为已知常数.求两金属圆筒之间的电势分布.

v解：设内筒所带电荷的线密度为?，则两筒间的电场强度分布为E??r 2分 2??0r2vvvR2?drR2 ?两筒间的电势差为 V?V?V?E?dr??ln120??2??0r2??0R1R1R1由此得：

R2V0? 3分 ?2??0ln(R2/R1)设两筒间任一点（距轴线的距离为r）的电势为V, 则有

vvr?dr?rV1?V??E?dr???ln 3分

2??0r2??0R1R1R1r

V?V1?V0?rrln?2V0?ln 2分 2??0R1ln(R2/R1)R17（10分）如图三个“无限长”的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为RA、RB、RC，圆柱面B上带电荷，A和C都接地，求：B的内表面单位长度电荷量?1，外表面单位长度电荷量?2之比值?1/?2． 解 在导体B内作单位长圆柱面形高斯面，可以说明A面单位长度上感应电荷为??1．同理，可说明C面单位长度上感应电荷为??2．由高斯定理可知场强分布为

RA?r?RB，E1???，方向沿径向由B指向A．

????rRB?r?RC，E2??2，方向沿径向由B指向C． ????r -λ 2 RB RA λ 1 λ 2 A B C RC -λ 1 BA间电势差 UBA?BC间电势差

?RARB?E2?dr??12????RARB?Rdr?1lnB r2???RAUBCRC ?2?ln2??0RB(C/RB) B为等势体，A、C接地，U?U，从而 ?1?lnRBABC?2lnR(B/RA)8（10分）图示为一半径为a, 带有正电荷Q的导体球. 球外有一内、外半径分别为b、c的不带电的同心导体球壳. 设无穷远处为电势为0点，求内球、球壳的电势. 解法1: 也可以通过高斯定理求场强, 用场强的线积分计算:

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0?r?a,b?r?c?0? E??Qa?r?b,c?r???4π?r20??vQ v?QVc??E?dr??dr?cc4?εr24?ε0c0Va???avvbE?dr??ac?QQQ?11?Q dr?0?dr?dr??????b?c4?ε0r24?ε0?ab?4?ε0c4?ε0r2

解法2: 利用势的叠加法. 球壳内表面将产生负的感应电荷-Q, 外表面为正电荷Q. 2分 按电势的叠加原理 V?a球壳的电势 V?cQQQ

??4??0a4??0b4??0cQ 3分 4??0c9（5分）若电荷以相同的面密度?均匀分布在半径分别为r1=10cm和r2=20cm的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300V，试求两球面的电荷面密度的?值(?0=8.85?10-12C2/N.m2) 解：根据带电球面内势为等势的特点 V?1又：Q1??14?R12,2 Q2??24?R2Q1Q2

,V2?4??0R14??0R222QQ?4?R?4?R?(R1?R2) 121122球心的势为两者的叠加 V?????04??0R14??0R24??0R14??0R2?08.85?10?12?300????8.85?10?9(C/m2) ?2(R1?R2)(10?20)?10?0V010（10分）如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求：(1) 球壳内外表面上的电荷．(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．(3) 球心O点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q． 2分

(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为 V?q??dq1?q 3分

?dq??s4??a4??0a4??0a0(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷 和点电荷q在O点产生的电势的代数和 2分

VO?Vq?V?q?VQ?q?q?qq?Q 5分

??4??0r4??0a4??0b

11（10分）一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ. 设无限远处为电势零点.计算盘中心O点电势. 解：在盘上取一半径为r?r?dr范围的同心圆环. 其面积为dS?2?rdr，其上的电荷

? dq?2??rdr 2分 它在O点产生的电势为dV?dq4??0r?dr 2分 2?0 R O dr

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总电势 V??R2?0?dr?2?0?R 1分

012（8分） 电荷面密度分别为 +σ和 -σ的两块无限大均匀带电平行平面，处于与平面垂直的 x 轴上的 +a 和 -a 的位置上.设坐标原点 O 处电势为零，求空间的电势分布表示式并画出其曲线. 解：由高斯定理可得场强分布为：

E =-? / ?0? (-a＜x＜a) 1分 E = 0 (-∞＜x＜-a ，a＜x＜＋∞) 1分 由此可求电势分布：在-∞＜x≤-a区间

V??Edx??x0?ax0dx????a0??a 2分

dx???0?0

在－a≤x≤a区间 V??Edx??x00x???0dx??x 2分 ?0 U 在a≤x＜∞区间

V??Edx??0dx??xx0a0a???0dx??a 2分，图2分 ?0-a O +a x 四 证明题

1（10分）有两块“无限大”带电导体平板平行放置. 试证明：静电平衡时相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号相反的，相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号相同的. 证明：建立向右为正的坐标系，在A板中取一点PA，由场的叠加性，场强为

EA???1?2???3?4?0 （1） 2?02?02?02?0A

B Q2

在B板中取一点PB，场强为

Q1 EB???1?2???3?4?0 （2） 2?02?02?02?0?1 ?2 ?3 ?4

（1）+（2）得：?1??4；（1）-（2）得：?2???3

2（5分）在一任意形状的空腔导体内放一任意形状带电体，总电荷为q，如图所示。试证明，在静电平衡时，整个空腔内表面上的感生电荷总是等于-q.

证：设内表面上感生电量为q＇．在导体内部作一包围内表面的高斯面S．在静电平衡时，导体内部场强处处为零，按高斯定理

vv(q?q?)E?0 3分 ???dS?S?0q于是得

q???q

2分

五 改错题 1（5分）

S

[答：（1）在图（a）中，A1左端和A2右端电势相等，（2）正确]

（b）

2（5分）有若干个电容器，将它们串联或并联时，如果其中有一个电容器的电容值增大，则： (1) 串联时，总电容随之减小．（答：串联时总电容随之）

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(2) 并联时，总电容随之增大．（答：正确） 上述说法是否正确, 如有错误请改正．

恒定磁场复习 （一）要点

一、磁感强度B的定义（略）.

二、毕奥—萨伐尔定律：电流元Idl激发磁场的磁感强度矢量 dB=[?0 /( 4?)]Idl×r /r3

运动点电荷q激发磁场的磁感强度矢量 B=[?0 /( 4?)]qv×r /r3

三、磁场的高斯定理 1.磁感线(略)；2.磁通量 ?m=四、安培环路定理：真空中

vvB?dS 3.高斯定理

vv?S??B?dS?0，稳恒磁场是无源场.

Svv B???d l??0?Ii，稳恒磁场是非保守场,是涡旋场或有旋场.

l五、洛伦兹力F= q v×B; 安培力：dF= Idl×B；

带电粒子在均匀磁场中运动回旋半径 R=mvsin? / (qB); 回旋频率 f= qB /(2?m) 六、磁矩定义 m =IS en ，载流线圈在均匀磁场中受力矩 M=m×B 七、几种特殊电流的磁场大小

1.长直电流激发磁场: 有限长 B=?0I(cos?1-cos?2)/(4?r)

无限长B=?0I/(2?r) 方向沿磁场线切向且与电流成右手螺旋；

2. 圆电流在轴线上激发磁场 B=?0IR2/[2(x2+R2)3/2] , 中心B=?0I/(2R )

张角?的园弧电流中心的磁感强度B=[?0I/(2R )]?[?/(2?)], 方向都沿轴向且与电流成右手螺旋； 3. 无限长密绕载流螺线管激发的磁场，管内 B=?0nI； 管外 B=0 4. 密绕载流螺绕环环内磁场 B=?0NI /(2? r) 5. 无限大均匀平面电流激发磁场 B=?0 j/2

6. 无限长均匀圆柱面电流激发磁场：柱面内 B=0；柱面外 B=?0I /(2?r) 7. 无限长均匀圆柱体电流激发磁场：柱内B=?0Ir/(2?R2)；柱外B=?0I /(2?r) （二）练习

一 选择题（每题3分）

1（答B）均匀磁场的磁感强度B垂直于半径为r的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为 (A) 2?r2B． (B) ?r2B．

(C) 0． (D) 无法确定的量．

2（答D）在磁感强度为B的均匀磁场中作一半径为r的半球面S，S边线所在平面的法线方向单位矢量n与B的夹角为? ，则通过半球面S的磁通量(取弯面向外为正)为

(A) ?r2B． (B) 2??r2B．(C) -?r2Bsin?． (D) -?r2Bcos?．

v S v??vn vBvv

3（答D）如图,出纸面的电流为2I, 流进纸面的电流为I, 则下述各式中哪一个是正确的?

(A)

vvB???dl?2?0I， (B)

L1vvB???dl??0I，

L2vv(C) ??B?dl???0I， (D)

L3vv??B?dl???0I．

L4

5（答C）边长为l的正方形线圈，分别用图所示两种方式通以电流I（其中ab、cd与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为：

(A) B1 = 0，B2 = 0

(B) B1 = 0，B2?22?0I/?l (C) B1?22?0I/?l，B2=0

I ? B1

l

a I b ? B2 l c I d 14

(D) B1?22?0I/?l，B2?22?0I/?l

6（答C）电流I由长直导线1沿半径方向经a点流入一电阻均匀的圆环，再由b点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上的电流强度I，圆环的半径R，且a、b和圆心O在一条直线上，设直电流1、2及圆环电流分别在O点产生的磁感强度B1、B2及B3，则O点的磁感强度大小

(A) B = 0，因为B1 = B2 = B3 = 0

vv(B) B = 0， 因为B1?B2?0，B3 = 0

(C) B ≠ 0，因为虽然B1 = B3 = 0，但B2≠0

(D) B ≠ 0，因为虽然B1 = B2 = 0，但B3≠0 （E） B ≠ 0，因为虽然B2 = B3 = 0，但B1≠0

7 (答C) 长直电流I2与圆形电流I1共面，并与其一直径相重合如图(但两者间绝缘)， 设长直电流不动，则圆形电流将 (A) 绕I2旋转 (B) 向左运动

(C) 向右运动 (D) 向上运动 (E) 不动.

8（答A）如图，无限长载流导线与三角形载流线圈在同一平面内，若长直导线固定不动，则载流三角形线圈将

(A) 向着长直导线平移 (B) 离开长直导线平移 (C) 转动 (D) 不动 9（答B）如图两根载流导线相互正交放置，如图所示，I1沿y轴的正方向，I2沿z轴的负方向. 若载流I1的导线不能动，载流I2的导线可以自由运动，则载流I2的导线开始运动的趋势是

(A) 沿x方向平动 (B) 绕x轴转动 (C) 绕y轴转动 (D) 无法判断 二 填空题

1（3分）真空中载有稳恒电流I的细线圈，则通过包围该线圈的封闭

曲面S

I1I2vvv a 1 O b 2 的磁通量Φ= .若通过S面上某面元dS的元磁通dΦ，而线圈中电流增加为2I时，通过同一面元的元磁通dΦ’，则dΦ/dΦ’ . （答：0，1/2）

2（3分）如图，半径为 0.5 cm的无限长直圆柱形导体上，沿轴线方向均匀地流着 I = 3 A的电流．作一个半径r = 5 cm、长l = 5 cm且与电流同轴的圆柱形闭

v 5a l 2a 3a vvv合曲面S，则该闭合曲面上的磁感强度B沿曲面的积分òB?dS___．（答： 0）

??S3（3分）一密绕的细长螺线管，每厘米长度上绕有10匝细导线，

I 螺线管的横截面积为10cm2，当在螺线管中通入10A的电流时，它的横截面上的磁通量为 .（真空中磁导率μ0=4π×10-7 T.m/A）（答：BS=4π×10-6韦伯）

相同电流时，两螺线管储存的磁能之比W1/W2= . （答案：1/16）

4（3分）真空中两只长直螺线管1和2，长度相等，单层密绕匝数相等，直径之比d1/d2=1/4，当它们通以

vvvB?dl??IB5（3分）在安培环路定理?中，是指____________；是指__________，它是由I?0i??iL____________决定的．[答：环路L所包围的所有稳恒电流的代数和 （1分）；环路L上的磁感强度（1分）； 环路L内外全部电流所产生磁场的叠加 （1分）] 6（3分）

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