2013年湖北省恩施州中考数学试卷及答案（解析版）(3)

坐标即为6，求出纵坐标，即可求出n的值． 解解：（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=， 答： ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6，∠CAB=60°， ∴AD=3，CD=sin60°×AC=×6=3， ∴点C坐标为（3，3）， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴k=9， ∴反比例函数的解析式y=； （2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上， 则此时B点的横坐标为6， 即纵坐标y==，也是向上平移n=． 点本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质评： 以及平移的相关知识，此题难度不大，是中考的常考点． 21．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110，到达B处，测得“香顶”N的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：，

）．

考解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 点： 分首先过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，可得四边形BEDF是矩形，

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析： 然后在Rt△ABE中，由三角函数的性质，可求得AE与BE的长，再设BF=x米，利用三角函数的知识即可求得方程：55+x=x+55，继而可求得答案． 解解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E， 答： ∵∠D=90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∴BE=DF，BF=DE， 在Rt△ABE中，AE=AB?cos30°=110×=55（米），BE=AB?sin30°=×110=55（米）； 设BF=x米，则AD=AE+ED=55+x（米）， 在Rt△BFN中，NF=BF?tan60°=x（米）， ∴DN=DF+NF=55+x（米）， ∵∠NAD=45°， ∴AD=DN， 即55+x=x+55， 解得：x=55， ∴DN=55+x≈150（米）． 答：“一炷香”的高度为150米． 点本题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三评： 角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22．（10分）（2013?恩施州）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件． （1）求这两种商品的进价．

（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 考一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用． 点： 分（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，就有x=y，3x+y=200，由这析： 两个方程构成方程组求出其解既可以； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品100的货款建立不等式，求出其值就可以得出进货 方案，设利润为W元，根据利润=售价﹣进价建立解析式就可以求出结论． 解解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得 答： ， - 12 -

解得：． 答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，由题意，得 ， 解得：29≤m≤32 ∵m为整数， ∴m=30，31，32， 故有三种进货方案： 方案1，甲种商品30件，乙商品70件， 方案2，甲种商品31件，乙商品69件， 方案3，甲种商品32件，乙商品68件， 设利润为W元，由题意，得 W=40m+50（100﹣m）， =﹣10m+5000 ∵k=﹣10＜0， ∴W随m的增大而减小， ∴m=30时，W最大=4700． 点本题考查了列二元依稀方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题评： 的运用，方案设计的运用，一次函数的性质的运用，在解答时求出利润的解析式是关键． 23．（10分）（2013?恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

考点： 专题： 分析： 切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 证明题． （1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF； （3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF - 13 -

然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可． 解（1）证明：连结OC，如图， 答： ∵C是劣弧AE的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切线； （2）证明：连结AC、BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠BCD=90°， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠2， ∵AC弧=CE弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2， ∴AF=CF； （3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2， ∴DF=AF=1， ∴AD=DF=， ∵AF∥CG， ∴DA：AG=DF：CF，即∴AG=2． ：AG=1：2， 点本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考评： 查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定． 24．（12分）（2013?恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）． （1）求直线BD和抛物线的解析式．

（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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考二次函数综合题． 点： 分（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式； 析： （2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个； （3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解． 解解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， 答： ∴A（﹣1，0），B（0，3）； ∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）． 设直线BD的解析式为：y=kx+b， ∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上， ∴， 解得k=﹣1，b=3， ∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3． 设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， ∵点B（0，3）在抛物线上， ∴3=a×（﹣1）×（﹣3）， 解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3． （2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）． 直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1， ∴M（2，1）． 设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1， ∴△MCD为等腰直角三角形． ∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似， ∴△BND为等腰直角三角形． 如答图1所示： （I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O， ∴N1（0，0）； （II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上， ∵OB=OD=ON2=3， ∴N2（﹣3，0）； （III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上， - 15 -

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