人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章一些常见曲线的参数方程(W

事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，每次的痛哭都会洗刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，【2019年度】精编人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二

章一些常见曲线的参数方程（Word）

[读教材·填要点]

1．摆线的概念

一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆

线，摆线又叫旋轮线．2．渐开线的概念

把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线

的基圆．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

(1)摆线的参数方程：.(2)圆的渐开线方程：.

[小问题·大思维]

1．摆线的参数方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？提示：字母a是指定圆的半径，参数t是指圆滚动时转过的角度．

2．渐开线方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？

提示：字母a是指基圆的半径，参数t是指OA―→和x轴正向所

成的角(A是绳拉直时和圆的切点)．

求圆的摆线的参数方程[例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．

[思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需

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事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，每次的痛哭都会洗刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．

[精解详析] 令y＝0，可得a(1－cos t)＝0， 由于a>0，

即得cos t＝1，所以t＝2kπ(k∈Z)．

代入x＝a(t－sin t)，得x＝a(2kπ－sin 2kπ)． 又因为x＝2，所以a(2kπ－sin 2kπ)＝2， 即得a＝(k∈Z)．

又a>0，所以a＝(k∈N＋)． 易知，当k＝1时，a取最大值为. 代入即可得圆的摆线的参数方程为

错误!(t

为参数)．

由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．

1．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．

解：xM＝r·θ－r·cos(φ＋θ)－＝r[θ－sin(φ＋θ)]，

yM＝r＋r·sin＝r[1－cos(φ＋θ)]．

∴点M的参数方程为(θ为参数).

求圆的渐开线的参数方程 [例2] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[思路点拨] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．

[精解详析] 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的

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事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，每次的痛哭都会洗刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，的长和线段AM的长相等．记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.OM0OA

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线．由三角和向量知识，得

OA＝(4cos θ，4sin θ)．

由几何知识知∠MAB＝θ，

AM＝(4θsin θ，－4θcos θ)，

得＝＋OMOAAM

＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又＝(x，y)，OM 所以有错误!

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系．

用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数．

(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．

(4)用向量运算得到OM―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．

2．渐开线(0≤t≤2π)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________________．

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事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，每次的痛哭都会洗刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1.这是一个焦点在x轴上的椭圆，其中c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．

答案：(6，0)，(－6，0)

渐开线与摆线的参数方程的应用 [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置．写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．

[思路点拨] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．

[精解详析] 轨迹曲线的参数方程为 0≤t≤2π.

当t＝π时，即x＝8π时，y有最大值16. 曲线的对称轴为x＝8π.

摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．

3．已知圆C的参数方程是和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.

(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？

(2)写出平移后圆的摆线方程． (3)求摆线和x轴的交点．

解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．

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事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，每次的痛哭都会洗刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，刷埋藏最深的阴霾。每件你所经历的坏事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是 (3)令y＝0，得6－6cos t＝0?cos t＝1. 所以t＝2kπ(k∈Z)． 代入x，得x＝12kπ(k∈Z)，

即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．

[对应学生用书P39]

一、选择题

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线

B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形

C．正方形也可以有渐开线

D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同

解析：选C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．

2.(t为参数)表示的是( )

A．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B．半径为5的圆的摆线的参数方程 C．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D．直径为5的圆的摆线的参数方程

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