23．(10分)问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，
可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
来源:Zxxk.Com]
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：
一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；
另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．
显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图． 分析:分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可。该题的难易程度属于A等级。
探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC
分割成个互不重叠的小三角形． 分析：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可。该题的难易程度属于B等级。 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形．
分析：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解。该题的难易程度属于B等级。 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成个互不重叠的小三角形．
分析：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解。该题的难易程度属于B等级。
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算)
分析：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解。该题的难易程度属于B等级。
24．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中
点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ⊥AB？
分析：该题是一道动态几何的问题。主要考查点的运动引起的直线甚至是图形关系的性质及数量关系的变化情况。考查的知识点通过垂直这个几何特征找到线段之间的关系，然后从运动开始进行线段的表达即可，最后解出t。该题中主要是利用相似的方法找到了与垂直有关的等式。该题的难易程度属于A等级。
(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
分析：该题考查的是不规则图形面积的求解。有两种主要的方法求解面积一种是直接法，所谓的直接法直接套用让所求解图形的面积公式，这种求解方法一般适用于求解三角形的面积和规则多边形的面积，都是从一条已知的边做出高，利用相似求出高，代入面积公式直接求解，规则四边形也是直接代入面积公式求解。二种是间接法，这种方法主要是利用便于求解的大图形的面积减去一个小图形的面积，利用图形割补思想。这种方法主要适用于不规则多边形的面积求解。本题中是不规则的图形那么我们利用割补的思想用S梯形BCDE-S三角形PQE=S五边形PQBCD。其中梯形是直角梯形，直接代入梯形的公式即可。三角形的面积通过做辅助线把已知一条边上的高做出来，利用相似的方法求出高，代入面积公式即可。该题的难易程度属于C等级。
(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE∶S五边形PQBCD＝1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．
分析：该题通过第二步求得的五边形的面积和三角形的面积代入比例就可以得到了一个关于t的一元二次函数，通过公式法将这个根求解出来看是否在t的取值范围之内即可。但是这个计算过程太麻烦，既然给定了S△PQE∶S五边形PQBCD＝1∶29，S△PQE=1/30S梯形BCDE,这个时候我们不必分别将关于x的式子代入而是转化为部分和整体的面积，因为整体的面积是不变的，是个常数。这样就化简了式子的繁琐程度。 对于点到直线的距离的求解方法有两种方法，一种是利用面积相等的方法，一种是利用三角形相似的方法。但是这两种方法的关键是构造直角三角形将PQ的长度求出
来。根据第二问求高时的思想过点P做PM垂直于AB交AB于点M，根据相似和勾股定理将PQ的值表示出来，最后就可以利用两种方法中的任何一种求得距离了。该题的难易程度属于C等级。
2009年青岛中考试题答案
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 C 2 D 9 3 B 4 C 10 9 13 9 14 5 B 6 D 7 A 11 48 8 A 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
3.8?108 12 20% 2?1 10 29?16n2（或36?64n2）三、作图题（本题满分4分） 15．正确画出两条角平分线，确定圆心； ················································································ 2分
确定半径； ···························································································································· 3分 正确画出图并写出结论． ···································································································· 4分 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（本小题满分8分）
x?1x2（1）解：原式? ?x(x?1)(x?1)?x． ······································································································································ 4分 x?1①?3x?2?x?2?（2）?1 3x?1≤7?x②??22解：解不等式①得x?2，
解不等式②得x≤4．
所以原不等式组的解集为2?x≤4． ············································································· 4分 17．（本小题满分6分） 解：（1）正确补全统计图； ········································································································ 2分 （2）300人．························································································································· 4分 （3）合理即可． ···················································································································· 6分 18．（本小题满分6分）
80?135?50??20??16.5（元）， ····································································· 4分 202020∵16.5元?5元
∴选择转转盘对顾客更合算． ···························································································· 6分
19．（本小题满分6分）
解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD，
C
∴?CEF?90°，设CE?x，
F
G E 在Rt△CEF中，
tan?CFE?CECEx8??x； ，则EF?EFtan?CFEtan21°3在Rt△CEG中，
tan?CGE?CE， GE则GE?CEx4??x； ············· 4分
tan?CGEtan37°3∵EF?FG?EG， ∴
84x?50?x． 33x?37.5，
∴CD?CE?ED?37.5?1.5?39（米）．
答：古塔的高度约是39米． ···························································································· 6分 20．（本小题满分8分） 解：（1）设商场第一次购进x套运动服，由题意得：
6800032000??10，···································································································· 3分 2xx解这个方程，得x?200．
经检验，x?200是所列方程的根． 2x?x?2?200?200?600．
所以商场两次共购进这种运动服600套． ······································································ 5分 （2）设每套运动服的售价为y元，由题意得：
600y?32000?68000≥20%，
32000?68000解这个不等式，得y≥200，
所以每套运动服的售价至少是200元． ·········································································· 8分 21．（本小题满分8分） 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB?CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成． ∴CG⊥AD．
∴?AEB??CGD?90°． ∵AE?CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG． ∴BE?DG． ··················································································································· 4分
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