KS5U2009届新课标数学考点预测：导数及其应用(5)

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若f(0)?0，则cos??0.矛盾.所以当cos??0时，f(x)的极小值不会大于零.

综上，要使函数f(x)在(??,??)内的极小值大于零，参数?的取值范围为(?,?)?(3?,11?).

6226（III）解：由（II）知，函数f(x)在区间(??,??)与(cos?,??)内都是增函数。

2由题设，函数f(x)在(2a?1,a)内是增函数，则a须满足不等式组

2a?1?a a?0 或

2a?1?a 12a?1?cos?26由（II），参数时??(?,?)?(3?,11?)时，0?cos??3.要使不等式2a?1?1cos?关于参数

62222?恒成立，必有2a?1?3，即4?3?a.

48综上，解得a?0或4?3?a?1. 8所以a的取值范围是(??,0)?[4?3,1).

8例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a?-1，求f(x)的单调区间. [考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数f(x)的定义域为(?1,??)，且f'(x)?ax?1(a??1),

x?1（1）当?1?a?0时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,??)上单调递减， （2）当a?0时，由f'(x)?0,解得x?1.

af'(x)、f(x)随x的变化情况如下表

x f'(x) f(x) 1(?1,) a1 a1(,??) a— 0 极小值 + ? ? 从上表可知

当x?(?1,1)时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,1)上单调递减.

aa当x?(1,??)时，f'(x)?0,函数f(x)在(1,??)上单调递增.

aa综上所述：当?1?a?0时，函数f(x)在(?1,??)上单调递减.

当a?0时，函数f(x)在(?1,1)上单调递减，函数f(x)在(1,??)上单调递增.

aa例12．（2006年北京卷）已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极大值5，其导函数y?f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

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（Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a,b,c的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在???,1?上上f'?x??0,

故f(x)在上递增，在(1,2)上递减， （-?，1），（2，+?）因此f?x?在x?1处取得极大值，所以x0?1 （Ⅱ）f'(x)?3ax2?2bx?c,

'由f（ 1）=0，（f'2）＝0，（f'1）＝5，得?12a?4b?c?0,

??a?b?c?5,??3a?2b?c?0,,2f'?x??0，在?1?上f'?x??0，在?2,???解得a?2,b??9,c?12.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设f'(x)?m(x?1)(x?2)?mx2?3mx?2m, 又f'(x)?3ax2?2bx?c, 所以a?m,b??3m,c?2m

32f(x)?m332|x?mx?2mx, 3232由f(1)?5，即m?3m?2m?5,得m?6,

所以a?2,b??9,c?12 例13．（2006年湖北卷）设x?3是函数f?x???x2?ax?b?e3?x?x?R?的一个极值点. （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f?x?的单调区间；

25?x2（Ⅱ）设a?0，g?x????a??e.若存在?1,?2??0,4?使得f??1??g??2??1成立，求a的取值范

?4?围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x＋(a－2)x＋b－a ]e由f `(3)=0，得 －[3＋(a－2)3＋b－a ]e则 f `(x)＝[x＋(a－2)x－3－2a－a ]e＝－[x＋(a－2)x－3－3a ]e2

2

2

2

3－x,

3－3＝0，即得b＝－3－2a，

3－x 3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.

令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，

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所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a>－4时，x2<3＝x1，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e<0，f (4)＝（2a＋13）e>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e，a＋6]. 又g(x)?(a2?25)ex在区间[0，4]上是增函数，

433－1且它在区间[0，4]上的值域是[a＋25，（a＋25）e]，

224

42242

由于（a＋25）－（a＋6）＝a－a＋1＝（a?1）≥0，所以只须仅须

442（a＋25）－（a＋6）<1且a>0，解得0

242故a的取值范围是（0，3）.

2例14 （2007年全国二） 已知函数f(x)?13ax?bx2?(2?b)x?1 3在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，且0?x1?1?x2?2． （1）证明a?0；

（2）若z=a+2b,求z的取值范围。 [解答过程]求函数f(x)的导数f?(x)?ax?2bx?2?b．

（Ⅰ）由函数f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根．

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所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2)

当x?x1时，f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0．

?f?(0)?0?2?b?0??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0．

?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0．

?4a?5b?2?0?4a?5b?2?0．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2?b?0，a?3b?2?0，

所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A?，?，B(2，，2)C(4，2)．

?46??77?b

z在这三点的值依次为

所以z的取值范围为?16，6，8． 7?16?，8?． 7??2

B(2，2)

1

?46?A?，? ?77?

O 2 4 a

小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合．

考点4 导数的实际应用 建立函数模型,利用 典型例题

例15. （2007年重庆文）

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

18?12x3??h??4.5?3x(m)?0＜x＜?.

42??故长方体的体积为

V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)3(0＜x＜).

2C(4，2)

从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

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当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

2时，V′（x）＜0， 3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

233

从而最大体积V＝V′（x）＝9×1-6×1（m），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

3

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m。 例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

y?13x3?x?8(0?x?120).已知甲、乙两地相距100千米. 12800080（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]（I）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了100?2.5小时，

40要耗没(13?403??40?8)?2.5?17.5（升）. 12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)升，

x依题意得h(x)?(

131001280015x3?x?8).?x??(0?x?120), 12800080x1280x4x800x3?803h'(x)???(0?x?120).

640x2640x2令h'(x)?0,得x?80.

当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数；当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数. 当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25.

因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.

五、考点预测

1.已知函数f?x??x?2a(x?0,a?R)若f?x?在?2,???是增函数，求实数a的范围。 x解析：f(x)?2x?/a3≥0在?2,???上恒成立?a?2x在?2,???上恒成立 2x3而2x在?2,???上的最小值为16，故a?16。

2.已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数[f/(x)]/<0， 则y=f(x)的图象可能是下图中的 （ ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ yyyy xxxOOOO欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com ②③④①25 x

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