KS5U2009届新课标数学考点预测：导数及其应用(4)

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例3.（2007年湖南文）已知函数f(x)?极值点．

（I）求a2?4b的最大值；

（II）当a2?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I）因为函数f(x)?1312x?ax?bx在区间[?11)，，(1，3]内各有一个321312x?ax?bx在区间[?11)，，(1，3]内分别有一个极值32点，所以f?(x)?x2?ax?b?0在[?11)，，(1，3]内分别有一个实根， 设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?a2?4b，且0?x2?x1≤4．于是

x2?3，即a??2，b??3时等号0?a2?4b≤4，0?a2?4b≤16，且当x1??1，成立．故a2?4b的最大值是16．

（II）解法一：由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是

y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x?21?a， 32因为切线l在点A(1，f(x))处空过y?f(x)的图象， 所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a]在x?1两边附近的函数值异号，则 32x?1不是g(x)的极值点．

而g(x)?131221x?ax?bx?(1?a?b)x??a，且 3232g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．

若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．

2所以1??1?a，即a??2，又由a?4b?8，得b??1，故f(x)?13x?x2?x． 3解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a] 3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]． 322欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com

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因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m1?1?m2）．

当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0； 或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0． 设h(x)?x2??1???3a??3a?x?2????，则 2??2?当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； 或当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0． 由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h(1)?2?1?1?2所以a??2，又由a?4b?8，得b??1，故f(x)?3a?0， 213x?x2?x． 3例4.（2006年安徽卷）若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）

A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0. 故选A.

例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x+y-4x+2y+5=0相切的直线的方程为 ( )

22

2A.y=-3x或y=1x B. y=-3x或y=-1x C.y=-3x或y=-1x D. y=3x或y=1x

3333[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为y?kx,?kx?y?0. 又?x?2?2??y?1?2?5,?圆心为?2,?1?.

2?2k?1k2?11?y?x,或y??3x.

3?51,?3k2?8k?3?0.?k?,k??3. 23故选A.

31?由 解法2:由解法1知切点坐标为(1,?3),??,?,22?22?欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com

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5??(x?2)??y?1????,???x?2??x22//?2(x?2)?2?y?1?yx/?0,x?2?yx??.y?1/

1?.3?k1?yx/13(,?)22??3,k2?yx/31(,)221?y??3x,y?x.3故选A.

例6.已知两抛物线C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a, a取何值时C1，C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

思路启迪：先对C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a求导数.

解答过程：函数y?x2?2x的导数为y'?2x?2，曲线C1在点P(x1,x12?2x1)处的切线方程为

2y?(x12?2x1)?2(x1?2)(x?x1)，即 y?2(x1?1)x?x1 ①

曲线C1在点Q(x2,?x22?a)的切线方程是y?(?x2?a)??2x2(x?x2)即

y??2x2x?x22?a ② 若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得

x1?1??x2,?x12?x22?1，消去x2得方程，2x1?2x1?1?a?0

2若△=4?4?2(1?a)?0，即a??1时，解得x1??1，此时点P、Q重合.

22∴当时a??1，C1和C2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为y?x?1 .

24考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7．（2006年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 y y?f?(x)b a欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com O x18 高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8 .（2007年全国一）设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围．

思路启迪：利用函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值构造方程组求a、b的值．

解答过程：（Ⅰ）f?(x)?6x2?6ax?3b，

因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．

?6?6a?3b?0，即?

24?12a?3b?0．?解得a??3，b?4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，

f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)．

当x?(0，1)时，f?(x)?0； 当x?(1，2)时，f?(x)?0； 当x?(2，3)时，f?(x)?0．

所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c． 则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c恒成立，

22所以 9?8c?c，

解得 c??1或c?9，

因此c的取值范围为(??，?1)?(9，??)．

例9.函数y?2x?4?x?3的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

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2x?4?0得，解答过程：由?x??2，即函数的定义域为[?2,??). ??x?3?0

y'?112x?3?2x?4，

??2x?42x?322x?4?x?32x?8， 2x?3?2x?4又2x?3?2x?4??当x??2时，y'?0，

?函数y?2x?4?x?3在(?2,??)上是增函数，而f(?2)??1，?y?2x?4?x?3的值域是[?1,??).

例10．（2006年天津卷）已知函数f?x??4x3?3x2cos??3cos?，其中x?R,?为参数，且

160???2?．

（1）当时cos??0，判断函数f?x?是否有极值；

（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数?的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数?，函数f?x?在区间?2a?1,a?内都是增函数，求实数a的取值范围．

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos??0时，f(x)?4x3，则f(x)在(??,??)内是增函数，故无极值. （Ⅱ）f'(x)?12x2?6xcos?，令f'(x)?0，得x1?0,x2?cos?.

2由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当cos??0时，随x的变化f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表： x f'(x) f(x) (??,0) 0 0 极大值 (0,cos? )2cos? 2(cos?,??) 2+ ↗ - ↘ 0 极小值 + ↗ 因此，函数f(x)在x?cos?处取得极小值f(cos?)，且f(cos?)??1cos3??3?

222416.要使f(cos?)?0，必有?1cos?(cos2??3)?0，可得0?cos??3.

2442由于0?cos??3，故?????或3????11?.

26226②当时cos??0，随x的变化，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表： x 0 cos? cos? cos?(??,)(,0) 2(0,??) 22f'(x) f(x) + 0 极大值 - 0 极小值 + ? ? 16? 因此，函数f(x)在x?0处取得极小值f(0)，且f(0)?3cos?.

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