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（Ⅱ）求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M?m≥1时k的取值范围．
k(x2?c)?2x(kx?1)?kx2?2x?ck解：（Ⅰ）f?(x)?，由题意知f?(?c)?0， ?2222(x?c)(x?c)2即得ck?2c?ck?0，（*）?c?0，?k?0．
由f?(x)?0得?kx?2x?ck?0，
由韦达定理知另一个极值点为x?1（或x?c?22）． k22，即c?1?． c?1k当c?1时，k?0；当0?c?1时，k??2．
（Ⅱ）由（*）式得k??c)和(1，??)内是减函数，在(?c，1)内是增函数． （i）当k?0时，f(x)在(??，?M?f(1)?k?1k??0， c?12?kc?1?k2m?f(?c)?2??0，
c?c2(k?2)kk2由M?m??≥1及k?0，解得k≥2．
22(k?2)?c)和(1，??)内是增函数，在(?c，1)内是减函数． （ii）当k??2时，f(x)在(??，k?k2?M?f(?c)??0，m?f(1)??0
22(k?2)?k2k(k?1)2?1M?m???1?≥1恒成立．
2(k?2)2k?2综上可知，所求k的取值范围为(??，?2)?[2，??)．
6.（2008重庆卷20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
设函数f(x)?ax?bx?c(a?0),曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
-x
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e的单调区间.
2解：(Ⅰ)因为f(x)?ax?bx?c,所以f?(x)?2ax?b.
2 又因为曲线y?f(x)通过点（0，2a+3）,
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故f(0)?2a?3,而f(0)?c,从而c?2a?3.
又曲线y?f(x)在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故f?(?1)?0, 即-2a+b=0,因此b=2a.
329,
4439 故当a??时，bc取得最小值-.
4433 此时有b??,c?.
22323333 从而f(x)??x?x?,f?(x)??x?,
422223233?x?x g(x)??f(x)c?(x?x?)e,
42232?x?x 所以g?(x)?(f(x)?f?(x)e??(x?4)e.
4 (Ⅱ)由(Ⅰ)得bc?2a(2a?3)?4(a?)? 令g?(x)?0，解得x1??2,x2?2.
当x?(??,?2)时,g?(x)?0,故g(x)在x?(??,?2)上为减函数； 当x?(?2,2)时，g?(x)?0,故g(x)在x?(2,??)上为减函数. 当x?(2,??)时，g?(x)?0，故g(x)在x?(2,??)上为减函数.
由此可见，函数g(x)的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. 7.（2008福建卷19）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?13x?x2?2. 32 （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(an,an?1?2an?1)(n
∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； （Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.
本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想
方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明：因为f(x)?213x?x2?2,所以f′(x)=x2+2x, 3? 由点(an,an?1?2an?1)(n?N)在函数y=f′(x)的图象上, 又an?0(n?N),所以(an?1?an)(an?1?an?2)?0,
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所以Sn?3n?n(n?1)?2=n2?2n,又因为f′(n)=n2+2n,所以Sn?f?(n), 2 故点(n,Sn)也在函数y=f′(x)的图象上.
x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,0) - ↘ 0 0 极小值 (0,+∞) + ↗ (Ⅱ)解:f?(x)?x2?2x?x(x?2), 由f?(x)?0,得x?0或x??2.
当x变化时,f?(x)﹑f(x)的变化情况如下表: 注意到(a?1)?a?1?2,从而
①当a?1??2?a,即?2?a??1时,f(x)的极大值为f(?2)??值；
②当a?1?0?a,即0?a?1时,f(x)的极小值为f(0)??2,此时f(x)无极大值； ③当a??2或?1?a?0或a?1时,f(x)既无极大值又无极小值.
2,此时f(x)无极小3三、名校试题
1.(2008年潍坊市高三统一考试)
,定义在(0??的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=
x2?af(x),h(x)?x?ax,且g(x)在[1，2]为增函数，h(x)在（0，1）为减函数.
（I）求g(x)，h(x)的表达式； （II）求证：当1 解（I）由题意：g(x)?x?af(x)?x?alnx. 22g?(x)=2x-2a?0,x?(1,2]恒成立. x∴a?2x,x?(1,2]恒成立. ?a?(2x2)最小?2，?a?2............................................2分 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com 8 高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家 又h?(x)?1??a1?02xx?(0,1)恒成立. ∴a?2x,x?(0,1),即a?(2,x)最大?2. ?a?2.?a?2.....................................................4分?g(x)=x2?2lnx;h(x)?x?2x...............................5分（II）?1?x?e2,?0?lnx?2, 欲证：x? 2?f(x). 2?f(x)只需证：x[2?f(x)]?2?f(x) 2(x-1) x+12(x?1)2(x-1)?lnx-. 记k(x)?f(x)?x?1x+1即证：f(x)?(x?1)2∴k?(x)?...........................7分 x(x?1)2∴当x>1时，k?(x)?0?k(x)在为增函数?????.9分 [1，??）?k(x)?k(1)?0,?k(x)?0. 即lnx?2(x-1)2(x?1)?0,?lnx? x+1x?1∴结论成立??????????????????..10分 （III）由 （1）知：g(x)?x2?2lnx,h(x)?x?2x. ∴C2对应表达式为h1(x)?x?2x?6 ∴问题转化成求函数g(x)?x2?2lnx与h1(x)?x?2x?6交点的个数. 即求方程：x?2lnx?x?2x?6的根的个数. 即： 22x?2lnx??x2?x?6...................................12分 2设h2(x)?2x?2lnx,h（3x）=-x?x?6. 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com 9 高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家 h?2(x)?12x(x?2)x?2???. xxxxx∴当x?(0,4)时，h?2(x)?0,h2(x)为减函数. 当x?(4,??)时，h?2(x)?0,h2(x)为增函数. 而h3(x)??x2?x?6的图象开口向下的抛物线 ∴h3(x)与h2(x)的大致图象如图： ∴h3(x)与h2(x)的交点个数为2个. 即C2与C3的交点个数为2个. 2.(湖南师大附中)（本小题满分14分）已知函数f(x)?1?ln(x?1)(x?0). x （Ⅰ）试判断函数f(x)在(0,??)上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若f(x)?k恒成立，求整数k的最大值； x?12n－3 （Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）?[1+n（n+1）]>e．解：（I）f?(x)? . 1x11[?1?ln(x?1)]??[?ln(x?1)]????（2分） 22xx?1xx?11?x?0,?x2?0,?0,ln(x?1)?0,?f?(x)?0. x?1?f(x)在(0,?)上是减函数.????????????????????（4分） （II）f(x)?k(x?1)[1?ln(x?1)]恒成立,即h(x)??k恒成立. x?1x即h(x)的最小值大于k.??????????????????????（6分） x?1?ln(x?1),记g(x)?x?1?ln(x?1)(x?0). xx?0,?g(x)在(0,??)上单调递增， 则g?(x)?x?1h?(x)?又g(2)?1?ln3?0,g(3)?2?2ln2?0. ?g(x)?0存在唯一实根a，且满足a?(2,3),a?1?ln(a?1). 当x?a时，g(x)?0,h?(x)?0，当0?x?a时，g(x)?0,h?(x)?0. ∴h(x)min?h(a)?(a?1)[1?ln(a?1)]?a?1?(3,4) a故正整数k的最大值是3 ????????9分 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com 10 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库KS5U2009届新课标数学考点预测：导数及其应用(2)在线全文阅读。
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