2009-2011年高考数学（理）试题及答案(全国卷1)(4)

（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）若变量x,y满足约束条件??3?2x?y?9,?6?x?y?9,则z?x?2y的最小值为 。

（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在 x轴上，离心率为

22。过l的直线 交于A,B两点，且?ABF2的周长为16，那么C的方程

为 。

（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB?6,BC?23,则棱锥O?ABCD的体积为 。

（16）在?ABC中，B?60?,AC?3，则AB?2BC的最大值为 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6. 求数列?an?的通项公式.

?1?b?loga?loga?......?loga,设 n?的前项和. 31323n求数列?b?n?(18)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B

配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） （20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 （21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?。 x?2y?3?0（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?lnxx?1?kxalnxx?1?bx，曲线y?f(x)在点(1,f(1处)的切线方程为

，求k的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2?14x?mn?0的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径。 (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

?x?2cos???y?2?2sin?（?为参数）

?????????M是C1上的动点，P点满足OP?2OM,P点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB. (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0。

（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集

（Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值。

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试卷参考答案

一、选择题

?3与C1的异于

（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题

（13）-6 （14）三、解答题 （17）解：

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32?9a2a6得a33?9a42所以q2?可知a>0,故q?1319x216?y28?1 （15）83 （16）27

。有条件

。

13由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?（Ⅱ ）bn?log1a1?log1a1?...?log1a1

??(1?2?...?n)??n(n?1)2。故数列{an}的通项式为an=

13n。

故

1b11bn???2n(n?1)1bn??2(1n?1n?1)

1b2?...???2((1?12)?(12?13)?...?(1n?1n?1))??2nn?1

所以数列{}的前n项和为?bn12nn?1

(18)解：

（Ⅰ ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD 从而BD+AD= AB，故BD?AD 又PD?底面ABCD，可得BD?PD 所以BD?平面PAD. 故PA?BD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则

2

2

2

A?1,0,0?,B0，3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。

????????????AB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)????

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则 即 ?x?3y?0

3y?z?0因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC

????m?PB?0 的法向量为m，则 ????m?BC?0

可取m=（0，-1，?3） cosm,n?277?427??277

故二面角A-PB-C的余弦值为 ?（19）解

（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

22?8100=0.3，所

32?10100?0.42，所以

（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

?90,9?4?,94,?1?02,102,110?

的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为

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