2009-2011年高考数学（理）试题及答案(全国卷1)(3)

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. ?2x2?1?(x?1)2,解析:原不等式等价于?解得0≤x≤2.

?x?1?0(14)已知?为第三象限的角，cos2???14．?1735,则tan(?4?2?)? .

【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为?为第三象限的角,所以2??(2(2k?1)??,?cos2???352k(2??1)k)?(Z，又

45<0, 所以2??(?2?2(2k?1)?,??2(2k?1)?)(k?Z),于是有sin2??,

tan2??sin2?cos2???43,所以tan(?4tan?2?)??4?tan2?1?tan?4?tan2?3??1.

471?31?4(15)直线y?1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 .

15.(1,)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形

452结合的数学思想.

【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线y?1与曲线y?x?x?a,观图可知，a的?a?15?,解得1?a?. 取值必须满足?4a?14?1??4122y x??x?12 y?x?x?ay=1 2a (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段

uuruurBF的延长线交C于点D，且BF?2FD，则C的离心率为 . 16.

23x O y?4a?14

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图，|BF|?b?c?a,

22y B uuruur作DD1?y轴于点D1,则由BF?2FD，得

O F D x D1 |OF||DD1|?|BF||BD|?23,所以|DD1|?32|OF|?322c,

即xD?3c2,由椭圆的第二定义得|FD|?e(ac?3c2)?a?3c22a

又由|BF|?2|FD|,得c?2a?3ca2,整理得3c2?2a2?ac?0.

23两边都除以a2,得3e2?e?2?0,解得e??1(舍去)，或e?.

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．． 已知VABC的内角A，B及其对边aC．

，b满a?b?acotA?bcotB，求内角

17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．． 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望． 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD?底面ABCD，AB//DC，AD?DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面

角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1.

（Ⅰ）若xf'(x)?x2?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0 .

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

????????8（Ⅱ）设FA?FB?，求?BDK的内切圆M的方程 .

9【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?521an?21an .

（Ⅰ）设c?,bn?，求数列?bn?的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式an?an?1?3成立的c的取值范围 .

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)复数

（A）?352?i1?2i的共轭复数是

35i （C）?i （D）i

i （B）

（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A）y?x2 (B) y?x?1 （C）y??x2?1 (D) y?2?x （3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040

（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A） （B）

334112 （C） （D）

32

（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则

cos2?=

（A）?4545 （B）? （C） （D）

5533

（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为

（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

（A）2 （B）3 （C）2 （D）3

a??1?（8）?x?2x?????的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

x??x??5（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 （9）由曲线y?（A）

103x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为

163 （B）4 （C） （D）6

（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题

?2???2?? P1:a?b?1????0,P:a?b?1???,?2???3???3???????P3:a?b?1????0,? P4:a?b?1????,???3??3?

其中的真命题是

（A）P1,P4 （B）P1,P3 （C）P2,P3 （D）P2,P4 （11）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,??且f(?x)?f(x)，则 （A）f(x)在?0,?????2)的最小正周期为?，

??2??单调递减 （B）f(x)在???3????44?,单调递减

（C）f(x)在?0,(12)函数y?之和等于

1??2??单调递增 （D）f(x)在???3????44?,单调递增

x?1的图像与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图像所有焦点的横坐标

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