2014届高三下学期培优（函数导数）(4)

（II）由题意，函数f(x)在x?1处取到最小值，

?b?b2?8a?b?b2?8a由（1）知，是函数的唯一极小值点故?1

4a4a整理得2a?b?1?b?1?2a 令g(x)?2?4x?lnx，则g?(x)?由g?(x)?1?4x x1?4x1?0?x? x41当0?x?时，g?(x)?0，函数单调递增；

41当x?(,??)时，g?(x)?0，函数单调递减

41因为g(x)?g()?1?ln4?0

4故g(a)?0,即2?4a?lna?2b?lna?0,即lna??2b

8、（2013?安徽）设函数f(x)?ax?(1?a2)x2(a?0)，区间l?xf(x)?0 （Ⅰ）求l的长度（注：区间(?,?)的长度定义为???）；

（Ⅱ）给定常数k?(0,1)，当1?k?a?1?k时，求l长度的最小值．

22解：（Ⅰ）因为方程ax?(1?a)x?0(a?0)有两个实根x1?0,x2???a?0,故f(x)?0的解集为1?a2?xx1?x?x2?

因此区间l?(0,aa)，区间长度为； 221?a1?a1?a2a（Ⅱ）设d(a)?，则d?(a)? 2221?a(1?a)令d?(a)?0?a?1,由于0?k?1，

故当1?k?a?1时，d?(a)?0,d(a)单调递增；当1?a?1?k时，d?(a)?0,d(a)单调递减， 因此当1?k?a?1?k时，d(a)的最小值必定在a?1?k,或a?1?k处取得.

1?kd(1?k)1?(1?k)22?k2?k3而???1，故d(1?k)?d(1?k). 231?kd(1?k)2?k?k21?(1?k)16

因此当a?1?k时，d(a)在区间[1?k,1?k]上取得最小值

1?k，即l长度的最小值为

2?2k?k21?k． 22?2k?k?x3?(a?5)x,x?0,?9、(2013天津.文)设a?[?2,0], 已知函数f(x)??3a?32

x?x?ax,x?0.??2(Ⅰ) 证明f(x)在区间(?1,1)内单调递减, 在区间(1,??)内单调递增;

1(Ⅱ) 设曲线y?f(x)在点P. i(xi,f(xi))(i?1,2,3)处的切线相互平行, 且x1x2x3?0, 证明x1?x2?x3?33解：（I）令f1(x)?x3?(a?5)x(x?0)，f2(x)?x?a?32x?ax(x?0)． 222①f1?(x)?3x?(a?5)，由于a?[?2,0]，从而当?1?x?0时，f1?(x)?3x?(a?5)?3?5?a?0，

所以函数f1(x)在区间(?1,0)内单调递减，

2②f2?(x)?3x?(a?3)x?a?(3x?a)(x?1)，由于a?[?2,0]，

所以0?x?1时f2?(x)?0；

当x?1时，f2?(x)?0，即函数f2(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,??)上单调递增． 综合①②及f1(0)?f2(0)，可知：f(x)在区间(?1,1)内单调递减，在区间(1,??)内单调递增； （II）证明：由（I）可知：f?(x)在区间(??,0)内单调递减，在区间(0,a?3)内单调递减，在区间6(a?3,??)内单调递增． 6因为曲线y?f(x)在点P,2,3)处的切线相互平行，从而x1,x2,x3互不相等，且i(xi,f(xi))(i?1f?(x1)?f?(x2)?f?(x3)．

222不妨x1?0?x2?x3，由3x1?(a?5)?3x2?(a?3)x2?3x3?(a?3)x3?a． 22可得3x2?3x3?(a?3)(x2?x3)?0?x2?x3?a?3， 3从而0?x2?2a?3?x3． 6a?3)?g(x2)?g(0)?a． 6设g(x)?3x?(a?3)x?a，则g(2由3x1?(a?5)?g(x2)?a??

2a?5?x1?0， 317

所以x1?x2?x3??2a?5a?3， ?33，

2a?53a2?5设t?，则a?23a?[?2,0]?t?[315,] 333t2?1111?(t?1)2??? 故x1?x2?x3??t?6233故x1?x2?x3??1． 310、（2013?浙江.文）已知a?R，函数f(x)?2x3?3(a?1)x2?6ax （Ⅰ）若a?1，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （Ⅱ）若a?1，求f(x)在闭区间[0,2a]上的最小值． 解：（Ⅰ）当a?1时，f?(x)?6x2?12x?6，所以f?(2)?6

f(2)?4,?曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?6x?8；

（Ⅱ）记g(a)为f(x)在闭区间[0,2a]上的最小值．

f?(x)?6x2?6(a?1)x?6a?6(x?1)(x?a)

令f?(x)?0，得到x1?1,x2?a 当a?1时， x 0 (0,1) + 1 (1,a) ﹣ a 0 (a,2a) + 单调递增 2a f?(x) f(x) 0 0 单调递增 极大值3a?1 单调递减 极小值 4a3 (3?a)a2 ?0(1?a?3)比较f(0)?0和f(a)?(3?a)a的大小可得g(a)??； 2?(3?a)a(a?3)2当a??1时，

18

x f?(x) f(x) 0 (0,1) ﹣ 单调递减 1 (1,?2a) + ?2a 0 0 极小值3a?1 单调递增 ?28a3?24a2 ?g(a)?3a?1?f(x)

?3a?1(a??1)?在闭区间[0,2a]上的最小值为g(a)??0(1?a?3)

?(3?a)a2(a?3)?11、(2013大纲版.文)（12分）已知函数f(x)?x3?3ax2?3x?1 (1)求当a??2时,讨论f(x)的单调性; (1)若x?[2,??)时,f(x)?0,求a的取值范围. 解：(1)求当a??2时,f(x)?x3?3ax2?3x?1

f?(x)?3x2?62x?3，令f?(x)?0?x?2?1或x?2?1

当x?(??,2?1)时，f?(x)?0,f(x)单调递增， 当x?(2?1,2?1)时，f?(x)?0,f(x)单调递减， 当x?(2?1,??)时，f?(x)?0,f(x)单调递增； (2)由f(2)?0，可解得a??55，当a??,x?(2,??)时， 4451f?(x)?3(x2?2ax?1)?3(x2?x?1)?3(x?)(x?2)?0

22所以函数f(x)在(2,??)单调递增，于是当x?[2,??)时，

f(x)?f(2)?0

综上可得，a的取值范围是[?,??). 12、（2013?福建）已知函数f(x)?x?1?54a(a?R),(e为自然对数的底数) xe(1)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值；

19

(3)当a?1时，若直线l:y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点，求k的最大值． 解：(1)由f(x)?x?1?轴,?f?(1)?0?1? (2)f?(x)?1?aa?f(x)?1?，得，又曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于xxxeea?0?a?e ea， ex①当a?0时，f?(x)?0，函数f(x)为(??,??)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a?0时，由f?(x)?0，解得x?lna

又当x?(??,lna)时，f?(x)?0，当x?(lna,??)时，f?(x)?0．

?f(x)在(??,lna)上单调递减,在(lna,??)上单调递增,

从而函数f(x)在x?lna处取得极小值，且极小值为f(lna)?lna，无极大值． 综上，当a?0时，函数f(x)无极值；

当a?0时，函数f(x)在x?lna处取得极小值f(lna)?lna，无极大值． (3)当a?1时，f(x)?x?1?11g(x)?f(x)?(kx?1)?(1?k)x?，令 xxee则直线l:y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点,等价于方程g(x)?0在R上没有实数解． 假设k?1，此时g(0)?1?0，g(11)??1?1， k?1ek?1又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理可知g(x)?0在R上至少有一解，与“方程g(x)?0在R上没有实数解”矛盾，故k?1． 又k?1时，g(x)?1?0，知方程g(x)?0在R上没有实数解，所以k的最大值为1. exx2x313、（2013?安徽）设函数fn(x)??1?x?2?2?2323xn?2(x?R,n?N*)，证明： n*（1）对每个n?N，存在唯一的xn?[,1]，满足fn(xn)?0；

*（2）对于任意p?N，由（1）中xn构成数列?xn?满足0?xn?xn?p?1． n20

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