2014届高三下学期培优（函数导数）(2)

(1)若x?[2,??)时,f(x)?0,求a的取值范围.

12、（2013?福建）已知函数f(x)?x?1?a(a?R),(e为自然对数的底数) xe(1)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值；

(3)当a?1时，若直线l:y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点，求k的最大值．

x2x313、（2013?安徽）设函数fn(x)??1?x?2?2?23xn?2(x?R,n?N*)，证明： n6

（1）对每个n?N*，存在唯一的xn?[,1]，满足fn(xn)?0； （2）对于任意p?N*，由（1）中xn构成数列?xn?满足0?xn?xn?p?

14、(2013天津.理) 已知函数f(x)?x2lnx. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t?0, 存在唯一的s, 使t?f(s).

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s?g(t), 证明: 当t>e2时, 有

2013-2014学年度高三文科数学培优资料

2lng(t)1?? 5lnt2231． n高考题选讲（函数和导数）答案

7

1、（本小题满分14分）(2013广东文) 设函数f(x)?x3?kx2?x?k?R?． (1) 当k?1时,求函数f(x)的单调区间；

(2) 当k?0时,求函数f(x)在?k,?k?上的最小值m和最大值M． 【解析】：f'?x??3x2?2kx?1

'(1)当k?1时f?x??3x2?2x?1,??4?12??8?0

?f'?x??0,f?x?在R上单调递增.

（2）当k?0时，f2'?x??3x2?2kx?1，其开口向上，对称轴x?k1? ，且过?0，3（i）当??4k?12?4k?3???k?3??0，即

k k3'?3?k?0时，f?x??0，f?x?在?k,?k?上单调递增，

从而当x?k时，f?x? 取得最小值m?f?k??k , 当x??k时，f?x? 取得最大值

-k x?M?f??k???k3?k3?k??2k3?k.

（ii）当??4k?12?4k?32???k?3??0，即k??'23时，令f?x??3x?2kx?1?0

22k?k?3k?k?3,注意到k?x?x?0,

解得：x1?,x2?2133(注：可用韦达定理判断x1?x2?12k?k,从而k?x2?x1?0；或者由对称结合图像判断) ，x1?x2?33?m?min?f?k?,f?x1??,M?max?f??k?,f?x2??

f?x1??f?k??x13?kx12?x1?k??x1?k??x12?1??0

?f?x?的最小值m?f?k??k,

32f?x2??f??k??x2?kx2?x2???k3?k?k2?k?=?x2?k?[?x2?k??k2?1]?0

2?f?x?的最大值M?f??k???2k3?k

综上所述，当k?0时，f?x?的最小值m?f?k??k,最大值M?f??k???2k?k

38

解法2（2）当k?0时，对?x??k,?k?，都有

f(x)?f(k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x2?1)(x?k)?0，故f?x??f?k?

f(x)?f(?k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x?k)(x2?2kx?2k2?1)?(x?k)[(x?k)2?k2?1]?0故

f?x??f??k?，而 f(k)?k?0，f(?k)??2k3?k?0

所以 f(x)max?f(?k)??2k3?k，f(x)min?f(k)?k

2、(2013广东.理)（14分）设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).

x2(Ⅰ) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间；

?1?,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M. ?2?【解析】(Ⅰ) 当k?1时,

f?x???x?1?ex?x2,f??x??ex??x?1?ex?2x?xex?2x?x?ex?2?

(Ⅱ) 当k?? 令f??x??0,得x1?0,x2?ln2 当x变化时,f??x?,f?x?的变化如下表:

x f??x? f?x? ???,0? ? 0 0 极大值 ?0,ln2? ? ln2 ?ln2,??? ? 0 极小值 右表可知,函数f?x?的递减区间为?0,ln2?,递增区间为???,0?,?ln2,???.

xxxx (Ⅱ)f??x??e??x?1?e?2kx?xe?2kx?xe?2k,

??令f??x??0,得x1?0,x2?ln?2k?, 令g?k??ln?2k??k,则g??k??11?k?1??1??0,所以g?k?在?,1?上递增, kk?2?所以g?k??ln2?1?ln2?lne?0,从而ln?2k??k,所以ln?2k???0,k? 所以当x?0,ln?2k?时,f??x??0；当x?ln?2k?,??时,f??x??0；

k3所以M?maxf?0?,f?k??max?1,?k?1?e?k

????????k3k令h?k???k?1?e?k?1,则h??k??ke?3k,

??令??k??e?3k,则???k??e?3?e?3?0

kk3??1??1??,1?上递减,而??????1???e???e?3??0

2??2??2???1??1?所以存在x0??,1?使得??x0??0,且当k??,x0?时,??k??0,

?2??2??1?当k??x0,1?时,??k??0,所以??k?在?,x0?上单调递增,在?x0,1?上单调递减.

?2?所以??k?在?9

17?1??1?,,所以在h1?0hk?0??e??0??????,1?上恒成立,当且仅当k?1时取得

228?2???k3“?”.综上,函数f?x?在?0,k?上的最大值M??k?1?e?k.

因为h?3、（2012广东文） （本小题满分14分）

2设0?a?1，集合A?x?Rx?0，A?x?R2x?3(1?a)x?6a?0，D?A????B．

(3) 求集合D（用区间表示）； (4) 求函数

f(x)?2x3?3(1?a)x2?6ax在D内的极值点．

解：（1）集合B解集：令2x2?3(1?a)x?6a?0 ??[?3(1?a)]2?4?2?6a?3(3a?1)(a?3)

1??0时，即：?a?1时，B的解集为：{x|x?R}此时D?A?B?A?{x?R|x?0)

31（2）当??0时，解得a?,(a?3舍去)

3(1):当

此时，集合B的二次不等式为：2x2?4x?2?0，

(x?1)2?0，此时，B的解集为：{x?R,且x?1}

故：D?A?B?(0,1)?(1,??) （3）当??0时，即0?a?1(a?3舍去） 3此时方程的两个根分别为：

x1?（31?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a)x2?

4413很明显，0?a?时,x2?x1?0故此时的

D?A?B?(0,x1)?(x2,??）?(0,（31?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a))?(,??)44131?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a)时,D?(0,（)?(,??)

344

综上所述： 当0?a?当a?当

1时，D?A?B?(0,1)?(1,??) 31?a?1时，D?{x?R|x?0) 310

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