2014届高三下学期培优（函数导数）(3)

(2)极值点，即导函数的值为0的点。f?(x)?0

f?(x)?6x2?6(1?a)x?6a?0即x2?(1?a)x?a?0(x?a)(x?1)?0

此时方程的两个根为：

x1?ax2?1

（ⅰ）当0?a?1时,D?(0,x1)?(x2,??) 3（31?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a)即：D?（0，）?(,??)

44x1?a3?a?3(1?3a)(3?a)4将分子做差比较：?（3?a)2?3(1?3a)(3?a)

?8a(3?a)1?0?a?3?8a(3?a)?0?x1?a故当x?a时，可以取到极值，极值点为（a,3a?a)

23x1?1?（31?a)?3(1?3a)(3?a)(3a?1)?3(1?3a)(3?a) ?1?44分子做差比较：

(3a?1)2?3(1?3a)(3?a)?8(3a?1)?0（31?a)?3(1?3a)(3?a)3(1?3a)(3?a)?(1?3a) ?1?44所以x1?1，又x2?1?分子做差比较法：

3(1?3a)(3?a)?(1?3a)2?8(1?3a)?0，

故x2?1,故此时x?1时的根取不到， （ⅱ）当a?（ⅲ）当

1161) 时，D?A?B?(0,1)?(1,??)，此时，极值点取不到x=1极值点为(,?27331?a?1时，D?{x?R|x?0),极值点为：(1,3a?1) 和(a,3a2?a3) 3总上所述：

11

当0?a?时,f(x)有1个极值点为（a,3a2?a3) 当a?当

131116) 时，f(x)有1个极值点为(,?27331?a?1时，f(x)有2个极值点分别为为：(1,3a?1) 和(a,3a2?a3) 34、(2013陕西.文) 已知函数f(x)?ex,x?R.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

12x?x?1有唯一公共点. 2f(b)?f(a)?a?b? (Ⅲ) 设a?b, 比较f?的大小, 并说明理由. ?与

2b?a?? (Ⅱ) 证明: 曲线y?f(x)与曲线y?解(Ⅰ)y?x?1.

(Ⅱ) 证明曲线y?f(x)与曲线y?12x?x?1有唯一公共点，过程如下。令2h(x)?f(x)?121x?x?1?ex?x2?x?1,x?R,则 22h'(x)?ex?x?1,h'(x)的导数h''(x)?ex?1,且 h(0)?0，h'(0)?0，,h''(0)?0因此，

当x?0时, h''(x)?0?当x?0时, h''(x)?0?y?h'(x)单调递减; y?h'(x)单调递增.

?y?h'(x)?h'(0)?0,所以 y?h(x)在R上单调递增,最多有一个零点x?0

所以，曲线y?f(x)与曲线y?12x?x?1只有唯一公共点(0,1).(证毕） 2(Ⅲ) 设

f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?f(a)?(b?a?2)?f(b)??

2b?a2?(b?a)(b?a?2)?ea?(b?a?2)?eb(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa???e

2?(b?a)2?(b?a)令g(x)?x?2?(x?2)?e,x?0, 则g'(x)?1?(1?x?2)?e?1?(x?1)?e

xxxg?(x)的导函数g''(x)?(1?x?1)?ex?x?ex?0,

12

所以g?(x)在(0,??)上单调递增,

且g?(0)?0,因此g?(x)?0,g(x)在(0,??)上单调递增,而g(0)?0 所以在(0,??)上g(x)?0。 因为当x?0时,g(x)?x?2?(x?2)?ex?0且a?b

(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa??e?0

2?(b?a)所以当a

2b?a5、(2013江苏卷)（本小题满分16分）

设函数f?x??ln x?ax，g?x??ex?ax，其中a为实数.

(1) 若f?x?在?1,???上是单调减函数，且g?x?在?1,???上有最小值，求a的范围； (2) 若g?x?在??1,???上是单调增函数，试求f?x?的零点个数，并证明你的结论. 解：（1）f(x)'?x?1?a,g(x)'?ex?a

?1 由题意：f(x)'?0对x??1,???恒成立 即a?x对x??1,???恒成立?a?1

g?x?在?1,???上有最小值

a?0时，g(x)'?0恒成立，g(x)在?1,???无最值

a?0时，由题意lna?1,a?e

综上：a的范围是：a?e （2）

xg?x?在??1,???上是单调增函数 ?g(x)'?0对x???1,???恒成立

?1即a?e对x???1,???恒成立?a?e令f(x)?0，则a?则有f(x)的零点个数即为y?a与y?令h(x)?lnx xlnx图像交点的个数 xlnx1?lnx?x?0?则h(x)'?2 xx易知h(x)在?0,e?上单调递增，在?e,???上单调递减 在x?e时取到最大值h(e)?1?0 e13

当x?0时，h(x)?lnxlnx???当x???时，h(x)??0 xx?h(x)图像如下

所以由图可知：a?0时，f(x)有1个零点

11时，f(x)有2个零点a?时，f(x)有1个零点 ee11综上所述：a?0或a?时，f(x)有1个零点；0?a?时，f(x)有2个零点

ee1?xxe. 6、（2013?湖南.文）已知函数f(x)?1?x20?a?（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f(x1)?f(x2)(x1?x2)时，x1?x2?0． 解：（I）易知函数f(x)的定义域为R．f?(x)?(1?xx1?xx)?e?e 221?x1?xx2?2x?1x1?xx?x[(x?1)2?2]x?e?e?e当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0． (1?x2)21?x2(1?x2)2∴函数f(x)的单调递增区间为(??,0)，单调递减区间为(0,??)． （II）当x?1时，由于

1?xx?0,e?0?f(x)?0; 21?x同理，当x?1时，f(x)?0;

当f(x1)?f(x2)(x1?x2)时，不妨设x1?x2． 由（I）可知：x1?(??,0),x2?(0,1)． 下面证明：?x?(0,1),f(x)?f(?x)，即证

x此不等式等价于(1?x)e?1?xx1?x?xe?e． 1?x21?x21?x?0. exx令g(x)?(1?x)e?1?x?x2x?，则g(x)??xe(e?1). xe14

当x?(0,1)时，g?(x)?0,g(x)单调递减，?g(x)?g(0)?0

x即(1?x)e?1?x?0??x?(0,1),f(x)?f(?x),而x2?(0,1)?f(x2)?f(?x2) xe从而，f(x1)?f(?x2).由于x1,?x2?(??,0),f(x)在(??,0)上单调递增，

?x1??x2?x1?x2?0

7、(山东.文)(本小题满分12分)

已知函数f(x)?ax2?bx?lnx(a,b?R)

(Ⅰ)设a?0，求f(x)的单调区间

(Ⅱ) 设a?0，且对于任意x?0，f(x)?f(1)。试比较lna与?2b的大小 解：（Ⅰ）由f(x)?ax2?bx?lnx(a,b?R)知f?(x)?2ax?b?又a?0，故当a?0时，f?(x)?1 xbx?1 x若b?0时，由x?0得，f?(x)?0恒成立， 故函数的单调递减区间是(0,??)；

111，即函数在(0,)上是减函数，在(,??)上是增函数. bbb11所以函数的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(,??)

bb若b?0，令f?(x)?0可得x?2当a?0时，令f?(x)?0?2ax?bx?1?0

?b?b2?8a?b?b2?8a由于??b?8a?0，故有x1? ,x2?4a4a2显然有x1?0,x2?0，

?b?b2?8a?b?b2?8a)上，导数小于0，函数是减函数；在区间(,??)上，导数大故在区间(0,4a4a于0，函数是增函数

综上，当a?0,b?0时，函数的单调递减区间是(0,??)；

当a?0,b?0时，函数的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(,??)

1b1b?b?b2?8a?b?b2?8a)，单调递增区间是(,??) 当a?0，函数的单调递减区间是(0,4a4a15

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