立体几何基础题题库一A(8)

又AB1∥平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离． 由BC=8，B1C=10，得CC1=6， 在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6， sin?C1DC?64?622?313

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC

121313∴ AH?AD?sin?C1DC?．

即AB1到平面C1BD的距离是

121313．

评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1∥平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．

88. 已知：直线a∥平面?．求证：经过a和平面?平行的平面有且仅有一个．

证：过a作平面与?交于a?，在?内作直线b?与a?相交，在a上任取一点P，在b?和P确定的平面内，过P作b∥b?．b在?外，b?在?内， ∴ b∥? 而a∥?

∴ a，b确定的平面?过a且平行于?． ∵ 过a，b的平面只有一个，

∴ 过a平行于平面?的平面也只有一个

89. 已知平面?、?、?、?．其中?∩?=l，?∩?=a，?∩?=a?，a∥a?，?∩?=b，?∩?=b?，b∥b?

上述条件能否保证有?∥?？若能，给出证明，若个反例，并添加适当的条件，保证有?∥?． 不足以保证?∥?． 如右图．

b＇ba＇l不能给出一

??a??如果添加条件a与b是相交直线，那么?∥?． 证明如下： a∥a??a∥? b∥b??b∥?

∵ a，b是?内两条相交直线， ∴ ?∥?．

90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行. 已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c. 求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c. 证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b ∴a、b?β ∴a、b相交或a∥b.

(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、b?β，a?α

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点 又∵α∩γ＝c 由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点. (2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且a?α，a?γ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.

由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.

说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.

91. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF. 求证：EF∥平面BB1C1C.

证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M. ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AF?DFFMBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴

AFFM?AEB1E

∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.

证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BC?BB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BF?BHBDBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴

B1E?BHAB1BA

∴EH∥B1B，B1B?平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，

EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C

EF?平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.

92. 已知：平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积. 解析：如图，面AND分别交α、β于MC，ND，因为α∥β， 故MC∥ND，同理MF∥NE，得 ∠FMC＝∠END，

∴ND∶MC＝（m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)

1S△END∶S△FMC＝212?EN?ND?sinEND

?FM?MC?sinFMC得S△END＝

ENFM?NDMC×S△FMC

nm＝

nn?p?m?pm·(m+p)(n+p)=(m+p)2

∴△END的面积为

nm(m+p)2平方单位.

在B1C93. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M上，并且CM=DN. 求证:MN∥平面AA1B1B.

解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证B1P.

平面CN并延明MN∥

分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN∥平面ABB1A1.

94. 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．

（1）求证：EF⊥平面GMC．

（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

解析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题． 解：

（1）连结BD交AC于O，

∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD， ∴EF⊥AC．

∵AC∩GC＝C， ∴EF⊥平面GMC．

（2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG

95. 已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．

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