立体几何基础题题库一A(4)

52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，

AFFD?BEEC?13。求异面直线AB与CD所成的角。

解析：在BD上取一点G，使得

BGGD?13，连结EG、FG

C 在ΔBCD中，

EGCD?BEBC?14BEEC?BGGD，故EG//CD，并且

EBAFGD，

所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且

FGAB?DFAD?34，

故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得 cos∠

D1A1DOACBC1B1EFGE=

EG2?GF2?EF22?EG?GF?3?5?72?3?5222??12，故∠FGE=120°。

另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。

53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．

12解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF=所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB=BE=

12b?2AC1，

212a?b22，OF=

12a?b?c22，

14c2，由余弦定理得

D1A1C1O1B1FCOAGDB1cos∠OB=4(a?b)?2?1422142(a?b?c)?(b?2222214c)2=

a?b22222

22)a?b?a?b?c222(a?b)(a?b?c解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。

解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1 中，AE=

a?b，AC1=

22222a?b?c，C1E=

22222224a?c由余弦定理，得

b?a2222222cos∠EAC1=

(a?b)?(a?b?c)?(4a?c)2?a?b?22a?b?c222=＜0

22)(a?b)(a?b?c所以∠EAC1为钝角．

a?b2222222根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为

(a?b)(a?b?c)54. 已知AO是平面?的斜线，A是斜足，OB垂直?，B为垂足，则 直线AB是斜线在平面?内的射影，设AC是?内的任一条解析：设AO与AB所成角为?1，AB与AC所成角为?2，角为?，则有cos??cos?1?cos?2。

A'直线，

OAO与AC所成

BC'在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC= ∠ACB=90，AC?2,BC?1,2问）

?AC3,SB?29，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该题的

由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影， 设异面直线SC与AB所成角为?， 则 cos??cos?SCA?cos?BAC， 由AC?2,BC?AB?3,SB?29 得

SACB17,SA?23,SC?2

∴ cos?SCA?12 ， cos?BAC?2，

17∴ cos??1717， 即异面直线SC与AB所成角为 arccos1717。

55. 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

?C?A11CB??C1CD??BCD?60，证明 C1C?BD。

B1C1D1（略去了该题的2，3问）

BA解析： 设CH，则CH为CH1在平面ABCD内射影为1C在平面ABCDCD射影，

∴ cos?C1CD?cos?C1CH?cos?DCH， ∴ cos?C1CB?cos?C1CH?cos?BCH，

由题意 ?C1CD??C1CB， ∴cos?DCH?cos?BCH。 又 ∵?DCH,?BCH?[0,?)

∴?DCH??BCH， 从而CH为?DCB的平分线， 又四边形ABCD是菱形， ∴CH?BD ∴C?1C与BD所成角为90， 即C1C?BD

56.. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点， 求异面直线AE与CF所成角的大小。 解析： 连接BF、EF，易证AD⊥平面BFC， ∴ EF为AE在平面BFC内的射影， 设AE与CF所成角为?，

A∴ cos??cos?AEF?cos?CFE，

F设正四面体的棱长为a，则AE?CF?BF?3BD2a ，

EC显然 EF⊥BC， ∴ EF?22a ，

内的

∴ cos?AEF?EFAE?63， cos?AFE?EFCF?63，

∴ cos??23， 即AE∴与CF所成角为 arccos23。

57. 三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，

?O1OB?60,?AOB?90，且OB?OO1?2,OA???3，求异面直线A1B与AO1所成角的大小，

（略去了该题的1问）

解析： 在平面BO1内作BC?OO1于C ，连A1C，

A1O1B1由平面BOO1B1?平面AOB，?AOB?90? 知，

OCBAO⊥平面BOO1B1， ∴ AO?BC， 又 AO?OO1?O， ∴ BC⊥平面AOO1A1， ∴ A1C为A1B在平面AOO1A1内的射影。

A设A1B与AO1所成角为?，A1C与AO1所成角为?2， 则cos??cos?BA1C?cos?2， 由题意易求得 BC?A1CA1B3,A1C?2,A1B?7 ，

∴ cos?BA1C??27，

在矩形AOO1A1中易求得A1C与AO1所成角?2的余弦值：cos?2?17714，

∴ cos??cos?BA1C?cos?2?17，

即A1B与AO1所成角为 arccos。

58. 已知异面直线a与b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角均是30的直线有且只有（ ）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

??解析： 过空间一点P作a'∥a，b'∥b，则由异面直线所成角的定义知：a'与b'的交角为50?，过P与a'，b'成等角的直线与a，b亦成等角，设a'，b'确定平面?，a'，b'交角的平分线为l，则过l且与?垂直的平面（设为?）内的任一直线l'与a'，b'成等角（证明从略），由上述结论知：l'与a'，b'所成角大于或等于l与a'，b'所成角25?，这样在?内l的两侧与a'，b'成30?角的直线各有一条，共两条。在a'，b'相交的另一个角130?内，同样可以作过130?角平分线且与?垂直的平面?，由上述结论知，?内任一直线与a'，b'所成角大于或等于65?，所以?内没有符合要求的直线，因此过P与a，

b成30?的直线有且只有2条，故选（B）

59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A.平行 B.相交

C.异面 D.以上都有可能 解析：D

60. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（A.异面或平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 解析：D

61. 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条 （ ）

A.4 B.6 C.8 D.10 解析：A

62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是 （ ）

A.48对 B.24对 C.12对 D.6对

）

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