立体几何基础题题库一A(3)

A

34. ．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 . 解析：6条

35. 已知：a??,b??,a?b?A,P?b,PQ//a. 求证:PQ??..(12分)

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.

解析：∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面?,?直线a??,点P??.

?p?b,b??,?p??

又?a????与?重合?PQ??

36. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分） 本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点 ∴过A、B、C有一个平面? 又?AB???P,且AB??

?点P既在?内又在?内,设????l,则p?l.

同理可证:Q?l,R?l

?P,Q,R三点共线.37. 已知：平面??平面??a,b??,b?a?A,c??且c//a, 求证：b、c是异面直线

解析：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交

(1)若b//c.?a//c,?a//b这与a?b?A矛盾(2)若b,c相交于B,则B??,又a?b?A,?A???AB??,即b??这与b???A矛盾?b,c是异面直线.

38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=3，求AD与BC所成角的大小

（本题考查中位线法求异面二直线所成角）

解析：取BD中点M，连结EM、MF，则

EM//AD,且EM?在?MEF中,?EF???EMF?120??12AD?1,MF//BC且MF?3,由余弦定理得12BC?1,EM2cos?EMF??MF2?EF22?EM?MF?1?1?32??12

?异面直线AD,BC所成角的大小为6039. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.(14分)

（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）

解析：取DD1中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MC∩BG=0 则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.

?MC2

?MA2?AC2?(32a)(设正方体的棱长为2a)BC?a?cos?BOC?19?sin?BOC?45959

而CM与D1N所成角的正弦值为4

40. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。 （1）求证：MN是AB和PC的公垂线 （2）求异面二直线AB和PC之间的距离

解析：（1）连结AN，BN，∵△APC与△BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点 ∴AN=BN

又∵M是AB的中点，∴MN⊥AB 同理可证MN⊥PC

又∵MN∩AB=M，MN∩PC=N ∴MN是AB和PC的公垂线。

（2）在等腰在角形ANB中，?AN?BN?32a,AB?a,?MN?AN2?(12AB)2?22a

即异面二直线AB和PC之间的距离为

22a.

41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 [ ] A．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个 C．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个

解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。. 42. 下列命题中正确的个数是 [ ] ①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。 43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。 解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行

解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。

45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。

解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。

46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。 47. 画出满足下列条件的图形。 (1)α∩β=1，a (2)α∩β=a，b

α，b

β，a∩b=A

β，b∥a

解析：如图1-8-甲，1-8-乙

48.经过平面?外两点A，B和平面?垂直的平面有几个？ 解析：一个或无数多个。

当A，B不垂直于平面?时，只有一个。 当A，B垂直于平面?时，有无数多个。

49. 设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB＝122，CD＝4 2，且四边形EFGH的面积为12 3，求AB和CD所成的角.

解析： 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.

12∵ EFGH是平行四边形，HG＝ AB＝62，

HE＝

12 ，CD＝23，

D∴ SEFGH＝HG·HE·sin∠EHG＝12123.

226 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG

HCG＝

EFB∴ sin∠EHG＝,故∠EHG＝45°.

A∴ AB和CD所成的角为45°

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

22

50. 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=和BC所成的角。（如图）

AD，求异面直线AD

A解析：设G是AC中点，连接DG、FG。因D、F分别是AB、点，故EG∥BC且EG=

12

CD中

BC，FG∥AD，且FG=

12AD，由异面直

EGBFCD线所所成由余

成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC角，即∠EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

12AD，又EF=AD，

注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 求：AM与CN所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE 为AM与CN所成的角。

∵N为AD的中点, NE∥AM省 ∴NE= 设正四面体的棱长为1， 则NC= 在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2=

1231612AM且E为MD的中点。

34716·3214= =

且ME=

12MD=

34

+

∴cos∠CNE=

CN2?NE2?CE2(?34)?(2?34234?)?342716??232?CN?NE,

又∵∠CNE ∈(0,

?2)

23∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.

注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

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