高等数学基础提高二讲义1(7)

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么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB。值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。

四、泰勒定理（泰勒公式）

定理1 （带皮亚诺余项的n阶泰勒公式） 设f?x?在x0处有n阶导数，则有公式 f?x??f?x0??f??x0?1!f?x?x0???x0?n!f???x0?2!?x?x0?2

n ??? ?x?x0?

?x?x0?n?Rn?x?

其中Rn?x??o?x?x0? ?x?x0?称为皮亚诺余项。

n????Rn?x?? lim?0? ?x?x0?x?x?n?0?? 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的

x初等函数如e，sinx，cosx，ln?1?x?和?1?x?（?为实常数）等的n阶泰勒公式都要

?熟记。

定理2 （带拉格朗日余项的n阶泰勒公式）

设f?x?在包含x0的区间?a,b?内有n?1阶导数，在?a,b?上有n阶连续导数，则对x??a,b?，有公式

f?x??f?x0??f??x0?1!f?n??x?x0??f???x0?2!?x?x0?2

????x0?n!?x?x0?n?Rn?x?

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其中Rn?x??f????x??n?1?!?n?1?x0?n?1，（?在x0与x之间）称为拉格朗日余项。

上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。x0?0时，也称为麦克劳林公式。 如果limRn?x??0，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。

n?? f(a)?f(b) g?x??x

← → 拉格朗日中值定理 ↑ n=0

（乙）典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（1）（后）—（乙）典型例题（2）（前）】 例1．设f?x?在?0,3?上连续，在?0,3?内可导，且f?0??f?1??f?2??3，f?3??1。

罗尔定理 柯西中值定理 泰勒定理 试证：必存在???0,3?，使f?????0

证：?f?x?在?0,3?上连续，?f?x?在?0,2?上连续，且有最大值M和最小值m。于是m?f?0??M；m?f?1??M；m?f?2??M，故

1313 m?得f?c???f?0??f?1??f?2???M。由连续函数介值定理可知，至少存在一点c??0,2?使

?f?0??f?1??f?2???1，因此f?c??f?3?，且f?x?在?c,3?上连续，?c,3?内

可导，由罗尔定理得出必存在???c,3???0,3?使得f?????0。

模型I：设f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导，f?a??f?b??0则下列各结论皆成立。

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? （1）存在?1??a,b?使f??1??lf??1??0（l为实常数）

???2??k?2k?1f??2??0??f??a,b2 （2）存在使（k为非零常数）

（3）存在

?3??a,b?使

f???3??g??3?f??3??0（g?x?为连续函数）

证：（1）令F?x??elxf?x?，在?a,b?上用罗尔定理 ?F??x??lelxf?x??elxf??x?

?存在?1??a,b?使F???1??lel?f??1??el?f???1??0

11 消去因子el?，即证。

1 （2）令F?x??e? F?x??kxxKf?x?，在?a,b?上用罗尔定理

xKk?1ef?x??exKf??x?

?2k???2??k?2k?1e????a,bF2 存在使

f??2??e?2kf???2??0

消去因子e?2k，即证。

（3）令F?x??eG?x?f?x?，其中G??x??g?x? F??x??g?x?eG?x?f?x??eG?x?f??x? 由F???3??0 消去因子eG??3?，即证。

口诀（24）：导数函数合为零；辅助函数用罗尔。

模型II：设f?x?，g?x?在 ?a,b?上皆连续，?a,b?内皆可导，且f?a??0，g?b??0，则存在???a,b?，使

f????g????f???g?????0

证：令F?x??f?x?g?x?，则F?a??F?b??0，显然F?x?在?a,b?上满足罗尔定理的条件，则存在???a,b?，使F?????0，即证。

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（5）（后）】 例6．设f?x?，g?x?在?a,b?内可导，且f??x?g?x??f?x?g??x?，求证f?x?在?a,b?内任意两个零点之间至少有一个g?x?的零点

证：反证法：设a?x1?x2?b，f?x1??0，f?x2??0而在?x1,x2?内g?x??0，

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则令F?x??f?x?g?x?在?x1,x2?上用罗尔定理

f?x1?g?x1?f?x2?g?x2? [?f?x1??f?x2??0，?F?x1???0，F?x2???0]

（不妨假设g?x1??0，g?x2??0否则结论已经成立）

则存在???x1,x2?使F?????0，得出f????g????f???g?????0与假设条件矛盾。所以在?x1,x2?内g?x?至少有一个零点

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（7）（前）】补充例题：设f?x?在?0,1?上连续，在?0,1?内可导，且f??x??0，

f'(?)f'(?)e?eb?aba求证：存在?,??(a,b)，使得?e

f(b)?f(a)e?eba?证：令g(x)?ex 使用柯西中值定理，存在??(a,b)使再对f?x?用拉格朗日中值定理

f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)代入即可

?f'(?)e?

口诀（25）：寻找?,?无约束，柯西拉氏先后上。

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（7）（后）】例3．设f?x?在?0,1?上连续，?0,1?内可

????导，且f0?0，f1?1，证明： ???? （I）存在??0,1，使得f??1??

?,???0,1?，???，使f????f?????1 （II）存在

证：（I）令

g?x??f?x??x?1，则

g?x?在

?0,1?上连续，g?1??1?0且g(0)??1?0，，

用介值定理推论存在 （II）在

???0,1?，使g????0，即f????1??

?0,??和??,1?上对f?x?用拉格朗日中值定理，存在???0,??，使

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得f?????f????f?0???0?1???

f?1??f???1??1??1???1?? 存在????,1?，???，使f?????

?

??1??

?f?????f?????1

口诀（26）：寻找?,?有约束，两个区间用拉氏。

三、泰勒公式

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（9）（前）】 例1．设f?x?在??1,1?上具有三阶连续导数，且f??1??0，f?1??1，f??0??0。 求证：?????1,1?，使f???????3。 证：麦克劳林公式 f?x??f?0??f??0?x?f???0?2!x?2f??????3!x

3 其中x???1,1?，?介于0与x之间。 ?f??0??0 0?f??1??f?0?? 1?f?1??f?0??f???0?2!f???0?2!??1?22?16f?????1???1? ??1??1?0?

3?1?163f?????2??1 ? 0??2?1?

后式减前式，得f?????1??f?????2??6

?f????x?在??1,?2?上连续，设其最大值为M，最小值为m。 则m?12?f?????1??f?????2???M

再由介值定理，?????1,?2????1,1?

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