高等数学基础提高二讲义1(2)

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数

则fk?1?x??fk?x?1?f2k?x??x1?kx21?x221?kx?x1??k?1?x2

根据数学归纳法可知，对正整数n，fn?x??x1?nx2

【1.1函数 （乙）典型例题（1）（中）】 例2．已知f??ex??xe?x，且f?1??0，求f?x? 解：令ex?t，x?lnt，因此f??ex??f??t?? f?x??f?1??xlntt，

?lntt1dt?1212lnlnt2x1?12ln2x

?f?1??0，?f?x??

三、有关四种性质

2x

【1.1函数 （乙）典型例题（2）（后）】例2．求I? 解：f1?x??ex?e?x是奇函数， ?f1??x??e?x?ex??f1?x? f2?x??lnx??1?1xx?e?e?5?x?x?ln?x?x?1dx

2???2x?1是奇函数，

? ?f2??x??ln?x? ?ln?2x?1

??x2?1??x22

x?x?1 ?ln1?lnx? ??f2?x? 因此x?ex?e?x?lnx? 于是I??x?1

2??x?1是奇函数

162??1?1xdx?0?2?xdx?0627

四、函数方程

【1.1函数 （乙）典型例题（3）（后）】 例1．设f?x?在?0,???上可导，f?0??0，

反函数为g?x?，且?f?x?0g?t?dt?xe，求f?x?。

2x - 6 -

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数

解：两边对x求导得g?f?x??f??x??2xex?x2ex，于是xf??x??x?2?x?ex，故

xxf??x???x?2?e，f?x???x?1?e?C，由f?0??0，得C??1，则

f?x???x?1?ex?1。

口诀（6）：正反函数连续用；最后只留原变量。

例2．设f?x?满足sinf?x??13sinf??1?3x??x，求f???x? 解：令g?x??sinf?x?，则

g?x??1g??1x???x， 3?3?

1g??1x??3??1?1?1?32g??32x???32x， 3

132g??1x??1g?1x??1?32??33??33??34x， ??

1g??1?1?1?13n?13n?1x???3ng??3nx???32?n?1?x， ? 各式相加，得g?x??1?1??11?3ng??3nx??x1???? ???99n?1?? ?g?x??1，?lim13ng??1?n???3nx??0 ? lim?11?1?9n???1????n?

?991???1?189 因此g?x??98x，于是

f?x??arcsi98nx?2k?或?2k?1???arcsin98x（k为整数）

口诀（7）：一步不行接力棒；最终处理见分晓。

- 7 -

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数

§1.2 极限

（甲）内容要点

一、极限的概念与基本性质 1．极限的概念

（1）数列的极限limxn?A

n?? （2）函数的极限limf?x??A；limf?x??A；limf?x??A

x???x???x?? limf?x??A；limf?x??A；limf?x??A

x?x0x?x0?x?x0? 2．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性）设limf?x??A，limf?x??B，则A?B 定理2 （极限的不等式性质）设limf?x??A，limg?x??B 若x变化一定以后，总有f?x??g?x?，则A?B

反之，A?B，则x变化一定以后，有f?x??g?x?（注：当g?x??0，B?0情

形也称为极限的保号性）

定理3 （极限的局部有界性）设limf?x??A 则当x变化一定以后，f?x?是有界的。 定理4 设limf?x??A，limg?x??B 则（1）lim?f?x??g?x???A?B （2）lim?f?x??g?x???A?B （3）lim?f?x??g?x???A?B （4）limf?x?g?x??AB?B?A?0?

（5）lim?f?x??

g?x?B?A?0?

- 8 -

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数

二、无穷小

1．无穷小定义：若limf?x??0，则称f?x?为无穷小（注：无穷小与x的变化过

程有关，lim穷小）

2．无穷大定义：任给M?0，当x变化一定以后，总有f?x??M，则称f?x?为

无穷大，记以limf?x???。

3．无穷小与无穷大的关系：在x的同一个变化过程中， 若f?x?为无穷大，则

1f?x?1x?0，当x??时

1xx??为无穷小，而x?x0或其它时，

1x不是无

为无穷小，

若f?x?为无穷小，且f?x??0，则 4．无穷小与极限的关系：

1f?x?为无穷大。

limf?x??A?f?x??A???x?，其中lim??x??0 5．两个无穷小的比较

设limf?x??0，limg?x??0，且limf?x?g?x??l

（1）l?0，称f?x?是比g?x?高阶的无穷小，记以f?x??o?g?x?? 称g?x?是比f?x?低阶的无穷小 （2）l?0，称f?x?与g?x?是同阶无穷小。

（3）l?1，称f?x?与g?x?是等阶无穷小，记以f?x?~g?x? 6．常见的等价无穷小，当x?0时

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1?cosx~e?1~x，lim?1?x?~x，?1?x??1~ax。

xa12x2，

7．无穷小的重要性质

有界变量乘无穷小仍是无穷小。

口诀（8）：极限为零无穷小；乘有界仍无穷小。

三、求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则

- 9 -

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数

2．两个准则

准则1：单调有界数列极限一定存在

（1）若xn?1?xn（n为正整数）又xn?m（n为正整数），则limxn?A存在，且

n??A?m

（2）若xn?1?xn（n为正整数）又xn?M（n为正整数），则limxn?A存在，

n??且A?M

准则2：夹逼定理

设g?x??f?x??h?x?。若limg?x??A，limh?x??A，则limf?x??A 3．两个重要公式 公式1：limsinxxx?0?1

n1?? 公式2：lim?1??n??n??1???e；lim?1??u??u??u?e；lim?1?v?v?e

v?01 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二） 当x?0时，e?1?x?xx22!???xnn!?ox??

ne?1?x?xx2 例：求lim2x?0x3用e?1?x?xx22!?x33!?ox??（最后一项比x33高阶无

xx?036穷小）原式?lim?o(x)x33?16，这样比用洛比达法则简单

sinx?x?x33!x2?x55!x4????1?nx2n?1?2n?1?!n?ox?2n?1?

cosx?1?2!?4!2?????1?x2n?2n?!n?1?ox?2n?

ln?1?x??x?x2x3?x33x5????1?xnnn?1?ox??

nn?x? arctaxa3?5?????1?2x2n?12n?1?ox?2n?1?

x?oxn ?1?x??1?ax?a?a?1?2!x???a?a?1???a??n?1??n!??

n - 10 -

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高等数学基础提高二讲义1(2)在线全文阅读。