高等数学基础提高二讲义1

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考研高等数学（中等题+理论）讲义

主讲：汪诚义

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第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

（甲） 内容要点 一、函数的概念

1. 定义

y?f(x)，x?I

x 为自变量，y 为因变量或称为函数值 f:x?y 为对应关系

自变量在定义域里面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。

口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。 2. 分段函数（考研中用得很多） ,x?1?x2f(x)?例1： ?,x?13x?1?

?x,x?0例2：x??

?x,x?0?

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?x2,x?0?例3：max(x,x2,x3)??x,0?x?1

?3,x?1?x

口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。 3．反函数

例：y?x2 的反函数 x?? 由于不单值，所以要看作 x?y

y 和x??2y，它们的图像与y?x一致。

如果改变符号，写成y?x和 y??

x，那么它们的图像要变。

4．隐函数

F(x,y)?0 确定y与x的函数关系

有些隐函数能化为显函数，例：x?y?1，y? 另外有些隐函数则不能化为显函数。例：ex?y221?x和y??1?x22。

?sin(3x?2y)?5?0

二、基本初等函数的概念、性质和图像

（内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性） 例1：考察 limx???(x???)(x??)arctanx

y?arctaxn的图像

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例2：考察limex?0?1x2

因为lim(?x?01x2)???

指数函数y?ex的图像

?1x2 因此limex?0?0

三、复合函数与初等函数

1. 复合函数

（i）已知f(x)，g(x)，求f[g(x)] （ii）已知f[g(x)]，g(x)，求f(x) 2. 初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数 原则上来说，分段函数不是初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 （1）y?limfn?x?

n?? （2）y?limf?t,x?

t?x 2．用变上、下限积分表示的函数

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（1）y?F(x)? （2）y?G(x)? 则

dydx?xaf?t?dt 其中f?t?连续，则

dydx?f?x?

???1?2?x?x?f?t?dt 其中?1?x?，?2?x?可导，f?t?连续，

??x??f??1?x???1??x? ?f??2?x???2

口诀（3）：变限积分是函数；出现之后先求导。

五、函数的几种性质 1．有界性：

（i）定义：设函数y?f?x?在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f?x??M，则称f?x?在X上是有界的。 （ii）例：f(x)? 2．奇偶性：

（i）定义：设区间X关于原点对称，若对x?X，都有f??x???f?x?，则称f?x?在

X上是奇函数。

1x在（0，1）内无界，在（1/2，1）内有界

若对x?X，都有f??x??f?x?，则称f?x?在X上是偶函数。

（ii）图像对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称。 常用公式：?a?a?0当f为奇函数?f(x)dx??a2f(x)dx当f为偶函数???0

口诀（4）：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。

3．单调性：

（i）定义：设f?x?在X上有定义，若对任意x1?X，x2?X，x1?x2都有若对任意f?x1??f?x2??f?x1??f?x2??则称f?x?在X上是单调增加的[单调减少的]；x1?X，x2?X，x1?x2都有f?x1??f?x2??f?x1??f?x2??，则称f?x?在X上是

单调不减[单调不增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） （ii）判别方法：在（a，b）内，若f?(x)?0，则f(x)单调增加；若f?(x)?0，则单调减少。 口诀（5）：单调增加与减少；先算导数正与负。 4．周期性：

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（i）定义：设f?x?在X上有定义，如果存在常数T?0，使得任意x?X，x?T?X，都有f?x?T??f?x?，则称f?x?是周期函数，称T为f?x?的周期。 由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。 （ii）例：f(x)?sin?x(??0)周期为T?2??；f(x)?sinx2?cosx3周期为12?是

4?和6?的最小公倍数；f(x)?sin?x?sin2x不是周期函数，因为2和?没有最小公倍数。

（乙）典型例题

一、定义域与值域

?3?x3,x??2? 【1.1函数 （乙）典型例题（1）（前）】例2．求y?f?x???5?x,?2?x?2的值

?2?1??x?2?,x?2域，并求它的反函数。

解：x??2，y?3?8?11，x?33?y，

?2?x?2，3?y?5?x?7，x?5?y，

x?2，y?1??x?2??1，x?2?1?y，

2 所以y?f?x?的值域为???,1???3,7???11,??? ?2?1?y,y?1? 反函数x??5?y,3?y?7

?3?.3?y,y?11

二、求复合函数有关表达式 例1．设f?x??x1?x2，求f?f??f?x????fn?x?

n重复合 解：f2?x??f?f?x???x1?kx2f?x?1?f2?x??x1?x21?x221?x?x1?2x2，

若fk?x??，

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