高等数学基础提高二讲义1(5)

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口诀（17）：函数为零要论证，介值定理定乾坤。

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分

（甲）内容要点

一、导数与微分概念 1．导数的定义

设函数y?f?x?在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限

?y?xf?x0??x??f?x0??x lim?x?0?lim?x?0

存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导数（也称微商），记作f??x0?，或y?df?x?dxx?x0x?x0，

dydxx?x0，

等，并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，

则称函数y?f?x?在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则f??x0??limf?x??f?x0?x?x0x?x0

我们也引进单侧导数概念。 右导数：f???x0??limf?x??f?x0??x?x0x?x0f?x??f?x0??lim?x?0f?x0??x??f?x0???xf?x0??x??f?x0?

左导数：f???x0??lim 则有

x?x0?x?x0?lim?x?0??x

f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0处左、右导数皆存在且相等。

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2．导数的几何意义与物理意义

如果函数y?f?x?在点x0处导数f??x0?存在，则在几何上f??x0?表示曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线的斜率。

切线方程：y?f?x0??f??x0??x?x0? 法线方程：y?f?x0???1f??x0??x?x0??f??x0??0?

口诀（18）：切线斜率是导数，法线斜率负倒数。 设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S?f?t?，如果f??t0?存在，则

f??t0?表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数y?f?x?在点x0处可导，则f?x?在点x0处一定连续，反之不然，即函数y?f?x?在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，y?f?x??x，在x0?0处连

续，却不可导。 4．微分的定义

设函数y?f?x?在点x0处有增量?x时，如果函数的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表达式

?y?A?x0??x?o??x? ??x?0?

其中A?x0?为?x为无关，o??x?是?x?0时比?x高阶的无穷小，则称f?x?在x0处可微，并把?y中的主要线性部分A?x0??x称为f?x?在x0处的微分，记以dy或

x?x0df?x?x?x0。

我们定义自变量的微分dx就是?x。 5．微分的几何意义

?y?f?x0??x??f?x0?是曲线y?f?x?在点x0处相应于自变量增量?x的纵坐标

f?x0?的增量，微分dyx?x0是曲线y?f?x?在点M0?x0,f?x0??处切线的纵坐标相应的

增量（见图）。

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6．可微与可导的关系

f?x?在x0处可微?f?x?在x0处可导。 口诀（19）：可导可微互等价；它们都比连续强。 且dy?A?x0??x?f??x0?dx

x?x0 一般地，y?f?x?则dy?f??x?dx 所以导数f??x??dydx也称为微商，就是微分之商的含义。

7．高阶导数的概念

如果函数y?f?x?的导数y??f??x?在点x0处仍是可导的，则把y??f??x?在点x0处的导数称为y?f?x?在点x0处的二阶导数，记以y??也称f?x?在点x0处二阶可导。

?n? 如果y?f?x?的n?1阶导数的导数存在，称为y?f?x?的n阶导数，记以y，

nx?x0，或f???x0?，或

dydx22x?x0等，

y?n??x?，

dydxn等，这时也称y?f?x?是n阶可导。

二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则 （1）四则运算求导和微分公式 [f1f2]?f1f2?f1f2

'''' [f1f2f3]?f1f2f3?f1f2f3?f1f2f3

''' (

fg)?'fg?fgg2''

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（2）反函数求导公式

设y?f(x)的反函数为x?g(y)，则g'(y)? （3）复合函数求导和微分公式 设y?f(u),u?g(x)，则 （4）隐函数求导法则

每一次对x求导，把y看作中间变量，然后解出y'

例：ex?y?sin(3x?2y)?5x?6y?7，确定y?y(x)，求y' 解：两边每一项对x求导，把y看作中间变量

'' ex?y(1?y')?[cos3(x?2y)]3(?2y)?5?6y?0

1f(x)'?1f[g(y)]'

dydx?dydududx?f[g(x)]g(x)

'' 然后把y'解出来 （5）对数求导法

取对数后，用隐函数求导法则 y?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)12

lny? 求导得

y'y?1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)]

2x?1(1?1x?2?1x?3?1x?4)

解出y'

y?xxx?0

xlnx y?e 解出y'

lny?xlnx

y'y ?lnx?1解出y'

（6）用参数表示函数的求导公式

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dy设x??(t),y??(t),则

dydx??'(t)dt?dx?'(t)dt(?'(t)?0)

（乙）典型例题

一、用导数定义求导数

例．设f?x???x?a?g?x?，其中g?x?在x?a处连续，求f??a? 解：f??a??limf?x??f?a?x?a?lim?x?a?g?x??0x?ax?ax?a?g?a?

二、分段函数在分段点处的可导性

【2.1导数与微分（乙）典型例题（1）（后）——（乙）典型例题（2）（前】例1．设函数 ?x2,x?1 f?x???

?ax?b,x?1 试确定a、b的值，使f?x?在点x?1处可导。

解：?可导一定连续，

?f?x?在x?1处也是连续的。 由 f?1?0??limf?x??limx?1

2x?1?x?1? f?1?0??limf?x??lim?ax?b??a?b

x?1?x?1? 要使f?x?在点x?1处连续，必须有a?b?1或b?1?a 又 f???1??limx?1f?x??f?1?x?1??lim?x?1x?1x?12?lim??x?1??2

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