解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解(7)

第五章 二次曲线一般的理论

§5.1二次曲线与直线的相关位置

1. 写出下列二次曲线的矩阵A以及F1(x,y)，F2(x,y)及F3(x,y).

x2y2x2y2222（1）2?2?1；（2）2?2?1；（3）y?2px；（4）x?3y?5x?2?0;

abab（5）2x?xy?y?6x?7y?4?0.

22?1?a2?解：（1）A??0???0??01b20?0??110?；F1(x,y)?2x；F2(x,y)?2y；F3(x,y)??1； ?ab??1????1?a2?（2）A??0??0???0?1b20?0??110?；F1(x,y)?2xF2(x,y)??2y；F3(x,y)??1. ?ab??1????00?p???（3）A??010?；F1(x,y)??p；F2(x,y)?y；F3(x,y)??px；

??p00?????1?（4）A??0?5??25?2??55?30?；F1(x,y)?x?；F2(x,y)??3y；F3(x,y)?x?2；

22?02??0??2?1（5）A????2????3??12172??3??7?117；F1(x,y)?2x?y?3；F2(x,y)??x?y?；2?222??4???F3(x,y)??3x?7y?4. 2 2. 求二次曲线x?2xy?3y?4x?6y?3?0与下列直线的交点. （1）5x?y?5?0； （2）x?2y?2?0； （3）x?4y?1?0； （4）x?3y?0； （5）2x?6y?9?0.

解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）(,?),(1,0)；

221252（2）??4?226i?7?226i??4?226i?7?226i?,,，?； ??????5555????（3）二重点(1,0)；

（4）?,?； （5）无交点.

3. 求直线x?y?1?0与二次曲线2x?xy?y?x?2y?1?0的交点. 解：由直线方程得x?y?1代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k的值，使得（1）直线x?y?5?0与二次曲线x?3x?y?k?0交于两不同的实点；

（2）直线{222?11??26?x?1?kt,y?k?t与二次曲线x?4xy?3y?y?0交于一点；

222（3）x?ky?1?0与二次曲线?2xy?y?(k?1)y?1?0交于两个相互重合的点； （4）{x?1?t,y?1?t与二次曲线2x?4xy?ky?x?2y?0交于两个共轭虚交点.

22解：详解略.（1）k??4；（2）k?1或k?3（3）k?1或k?5；（4）k?49. 24§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

6. 求下列二次曲线的渐进线.

（1）6x?xy?y?3x?y?1?0； （2）x?3xy?2y?x?3y?4?0； （3）x?2xy?y?2x?2y?4?0.

22222213?6x?y??0,?13?22解：（1）由?得中心坐标(?,).

55??1x?y?1?0??22而由6X?XY?Y?0得渐进方向为X:Y?1:2或X:Y??1:3，所以渐进线方程分别为2x?y?1?0与3x?y?0

2231?x?y??0,?13?22（2）由?得中心坐标(?,).

55??3x?2y?3?0??22而由X?3XY?2Y?0得渐进方向为X:Y?1:1或X:Y?2:1，所以渐进线方程分别为x?y?2?0与x?2y?1?0

22?x?y?1?0,（3）由?知曲线为线心曲线，.

x?y?1?0?所以渐进线为线心线，其方程为x?y?1?0.

§5.3二次曲线的切线

1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线3x?4xy?5y?7x?8y?3?0在点（2，1）； （2）曲线曲线3x?4xy?5y?7x?8y?3?0在点在原点； （3）曲线x?xy?y?x?4y?3?0经过点（-2，-1）； （4）曲线5x?6xy?5y?8经过点(0,2)；

（5）曲线2x?xy?y?x?2y?1?0经过点（0，2）. 解：（1）9x?10y?28?0；

2222222222（2）x?2y?0；

（3）y?1?0,x?y?3?0；

（4）11x?5y?102?0,x?y?22?0； （5）x?0.

2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.

（1）曲线x?4xy?3y?5x?y?3?0的切线平行于直线x?4y?0； （2）曲线x?xy?y?3的切线平行于两坐标轴. 解：（1）x?4y?5?0，(1,1)和x?4y?8?0，(?4,3)； （2）y?2?0，(1,?2),(?1,2)和x?2?0，(2,?1),(?2,1).

4.试求经过原点且切直线4x?3y?2?0于点（1，-2）及切直线x?y?1?0于点（0，-1）的二次曲线方程.

解：利用（5.3-5）可得6x?3xy?y?2x?y?0

222222§5.4二次曲线的直径

2.求曲线x?2xy?4x?2y?6?0通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入X(x?2)?Y(2y?1)?0

得X:Y?1:6，再代入上式整理得直径方程为x?12y?8?0，其共轭直径为

212x?2y?23?0.

3.已知曲线xy?y?2x?3y?1?0的直径与y轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.

解：直径方程为x?1?0，其共轭直径方程为x?2y?3?0. 7．求下列两条曲线的公共直径.

（1）3x?2xy?3y?4x?4y?4?0与2x?3xy?y?3x?2y?0； （2）x?xy?y?x?y?0与x?2xy?y?x?y?0. 解：（1）2x?y?1?0；（2）5x?5y?2?0.

222222222§5.6二次曲线方程的化简与分类

1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形. （1）5x?4xy?2y?24x?12y?18?0； （2）x?2xy?y?4x?y?1?0； （3）5x?12xy?22x?12y?19?0； （4）x?2xy?y?2x?2y?0.

解（1）因为二次曲线含xy项，我们先通过转轴消去xy，设旋转角为?，则ctg2??22222223，41?tg2?3211?，所以tg??或-2.取tg???2，那么sin???即，cos??，所

2tg?4255?x???以转轴公式为??y???1'(x?2y'),5代入原方程化简再配方整理得新方程为

1(?2x'?y').56x''2?y''2?12?0；

类似的化简可得 （2）22x?5y''2''2''2''2''2?0；（3）9x?4y?36?0；（4）2x?1?0.

§5.7应用不变量化简二次曲线的方程

1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方

程.

（1）x?6xy?y?6x?2y?1?0； （2）3x?2xy?3y?4x?4y?4?0； （3）x?4xy?3y?2x?2y?0； （4）x?4xy?4y?2x?2y?1?0； （5）x?2xy?2y?4x?6y?29?0； （6）x?22222222222y?a；

2（7）x?2xy?y?2x?2y?4?0； （8）4x?4xy?y?12x?6y?9?0.

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