解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解(3)

将上述方程经同解化简为：x?y?(1?m)z?2cz?c?0 （*） （*）即为所要求的轨迹方程。

22222第三章 平面与空间直线

§ 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。 解：（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： AB?{?4,5,?1}，CD?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：

?x?5?4u?v? ?y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。

（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面

? AB?{?4,5,?1}， AB?AC?{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}

均与??平行，所以??的参数式方程为：

?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?一般方程为：2x?y?3z?2?0. 5. 求下列平面的一般方程.

⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;

⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.

x?2解:平行于x轴的平面方程为

y?1z?1?1000?0.即z?1?0.

11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为

xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c??

19?2?3c故一般方程为12x?8y?19z?24?0.

⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,

?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,

x?0∴点法式方程为

y?010z?0?2?0 051∴一般方程为2y?z?0.

同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.

1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n??因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0. (5) op??2,9,?6?. p?op??????4?81?36?11.

op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?.

296,cos??,cos???. 111111296则该平面的法式方程为:x?y?z?11?0.

111111∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.

1,?8,3?，M1M2??1,6,1?，点从?4,1,2? （6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n???x?4写出平面的点位式方程为

y?1z?2?8631?0，则A?11?8361??26,

B?3111?2,C?1311?14,D??26?4?2?28??74，

则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0.

8．已知三角形顶点A?0,?7,0?,B?2,?1,1?,C?2,2,2?.求平行于?ABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。

????????????解：设AB?a,AC?b.点A?0,?7,0?.则a??2,6,1?,b??2,9,2?写出平面的点位式方程

x22y?769z1?0 2设一般方程Ax?By?Cz?D?0.?A?3.B?2,C?6,D??14?0. 则??1.p???D?2. 7相距为2个单位。则当p?4时D??28.当p?0时D?0.

?所求平面为3x?2y?6z?28?0.和3x?2y?6z?0.

9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴ox,oy与oz上的截距之比为a:b:c??1:3:2的平面。

解：设a??x,b?3x,c?2x.?abc?0.?设平面的截距方程为即bcx?acy?abz?abc. 又?原点到此平面的距离d?6.xyz???1. abc?abc?bc22?ac?ab?x222221?6.

1132?x1?,?a??,b?,c?.

7777yz?所求方程为?x???7.

32xyz10．平面???1分别与三个坐标轴交于点A,B,C.求?ABC的面积。

abc解

A(a,0,

????????B(0,b,0),C(0,0,c)AB???a,b,0?,AC???a,0,c?.

???????????????? AB?AC??bc,ca,ab?;AB?AC?b2c2?c2a2?a2b2.

∴S?ABC=12222bc?ca?a2b2 2§ 3.2 平面与点的相关位置

3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(?2,11,?5),C(1,?1,4)，计算从顶点S向底面ABC所引的高。

解：地面ABC的方程为：

2x?y?2z?5?0

所以，高h?

4.求中心在C(3,?5,2)且与平面2x?y?3z?11?0相切的球面方程。 解：球面的半径为C到平面?：2x?y?3z?11?0的距离，它为：

?6?2?4?53?3。

R?2?3?5?6?1114?2814?214，

所以，要求的球面的方程为：

(x?3)2?(y?5)2?(z?2)2?56.

即：x?y?z?6x?10y?4z?18?0.

5．求通过x轴其与点M?5,4,13?相距8个单位的平面方程。

解：设通过x轴的平面为By?Cz?0.它与点M?5,4,13?相距8个单位，从而

2224B?13CB2?C2?8.?48B2?104BC?105C2?0.因此?12B?35C??4B?3C??0.

从而得12B?35C?0或4B?3C?0.于是有B:C?35:12或B:C?3:??4?.

?所求平面为35y?12z?0或3y?4z?0.

6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴3x?6y?2z?7?0和4x?3y?5?0; ⑵9x?y?2z?14?0和9x?y?2z?6?0.

解: ⑴ ?1:1?3x?6y?2z?7??0 71?4x?3y?5??0 511令?3x?6y?2z?7???4x?3y?5? 75?2:化简整理可得:13x?51y?10z?0与43x?9y?10z?70?0.

⑵对应项系数相同,可求D'?程:9x?y?2z?4?0.

D1?D2?14?6???4,从而直接写出所求的方223.3 两平面的相关位置

2.分别在下列条件下确定l,m,n的值：

（1）使(l?3)x?(m?1)y?(n?3)z?8?0和(m?3)x?(n?9)y?(l?3)z?16?0表示同一平面；

（2）使2x?my?3z?5?0与lx?6y?6z?2?0表示二平行平面； （3）使lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：

l?3m?1n?38 ???m?3n?9l?3?16即：

?m?2l?3?0??n?2m?7?0 ?l?2n?9?0?从而：l?71337，m?，n?。

9992m3 ??l?6?6（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：

所以：l??4，m?3。

（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：

7l?2?3?0 所以： l??

1。 705. 求下列平面的方程:

(1) 通过点M1?0,0,1?和M2?3,0,0?且与坐标面xOy成60角的平面;

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