解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解(4)

(2) 过z轴且与平面2x?y?5z?7?0成600角的平面.

解 ⑴ 设所求平面的方程为

xyz???1. 3b1?又xoy面的方程为z=0,所以cos60?11?0??0?13b?1??1?2??????1?3??b?22?1 2解得b??320,∴所求平面的方程为

x?3?y?z?1, 326即x?26y?3z?3?0

⑵设所求平面的方程为Ax?By?0;则cos60??2A?B?A2?B24?1?5?1 23A2?8AB?3B2?0,?A?B或A??3B 3?所求平面的方程为x?3y?0或3x?y?0.

§ 3.4空间直线的方程

1.求下列各直线的方程：

（1）通过点A(?3,0,1)和点B(2,?5,1)的直线； （2）通过点M0(x0,y0,z0)且平行于两相交平面?i：

Aix?Biy?Ciz?Di?0

(i?1,2)的直线；

（3）通过点M(1?5,3)且与x,y,z三轴分别成60,45,120的直线； （4）通过点M(1,0,?2)且与两直线

???x?1yz?1xy?1z?1和?垂直的直线； ???11?11?10（5）通过点M(2,?3,?5)且与平面6x?3y?5z?2?0垂直的直线。 解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：

x?3yz?1 ??2?3?50x?3yz?1x?3yz?1即：，亦即。 ????5?501?10（2）欲求直线的方向矢量为：

?B1??B2所以，直线方程为：

C1C1,C2C2A1A2A2,A1B1?? B2?x?x0y?y0z?z0??。

B1C1C1A1A1B1B2C2C2A2?A2?B2?（3）欲求的直线的方向矢量为：cos60,cos45,cos120?1????,2?21?,??， 22?故直线方程为：

x?1y?5z?3。 ??1?12（４）欲求直线的方向矢量为：?1,1,?1???1,?1,0????1,?1,?2?， 所以，直线方程为：

x?1yz?2。 ??112（５）欲求的直线的方向矢量为：?6,?3,?5?， 所以直线方程为：

x?2y?3z?5。 ??6?3?5３.求下列各平面的方程：

（１）通过点p(2,0,?1)，且又通过直线（２）通过直线

x?1yz?2的平面； ??2?13x?2y?3z?1且与直线 ??1?5?1?2x?y?z?3?0 ?x?2y?z?5?0?平行的平面； （３）通过直线

x?1y?2z?2且与平面3x?2y?z?5?0垂直的平面； ??2?32?5x?8y?3z?9?0向三坐标面所引的三个射影平面。

?2x?4y?z?1?0（４）通过直线?解：（１）因为所求的平面过点p(2,0,?1)和p?(?1,0,2)，且它平行于矢量?2,?1,3?，所以要求的平面方程为：

x?22?3即x?5y?z?1?0。

y?10z?133?0

（２）已知直线的方向矢量为?2,?1,1???1,2,?1????1,3,5?，

?平面方程为：

x?21?1即11x?2y?z?15?0

（３）要求平面的法矢量为?2,?3,2???3,2,?1????1,8,13?，

y?3z?1?53?1?0 5?平面的方程为：(x?1)?8(y?2)?13(z?2)?0，

即x?8y?13z?9?0。

（4）由已知方程??5x?8y?3z?9?0

?2x?4y?z?1?0分别消去x，y，z得到：

36y?11z?23?0，9x?z?7?0，11x?4y?6?0

此即为三个射影平面的方程。

§ 3.5直线与平面的相关位置

2.试验证直线l：和交角。

解： ? 2?(?1)?1?1?1?2??3?0

xy?1z?1与平面?：2x?y?z?3?0相交，并求出它的交点???112? 直线与平面相交。

?x??t?又直线的坐标式参数方程为： ?y?1?t

?z?1?2t?设交点处对应的参数为t0，

?2?(?t0)?(1?t0)?(1?2t0)?3?0 ?t0??1，

从而交点为（1，0，-1）。

又设直线l与平面?的交角为?，则：

sin??2?(?1)?1?1?1?26?6?1， 2? ??

?6。

3.确定l,m的值，使： （1）直线

x?1y?2z??与平面lx?3y?5z?1?0平行； 431?x?2t?2?（2）直线?y??4t?5与平面lx?my?6z?7?0垂直。

?z?3t?1?解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：

4l?3?3?5?1?0

即l?1。

（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：

lm6?? 2?43所以：l?4,m??8。

§ 3.6空间直线与点的相关位置

?2x?2y?z?3?02.求点p(2,3,?1)到直线?的距离。

3x?2y?2z?17?0?解：直线的标准方程为：

x?11yz?25 ??21?2所以，p到直线的距离为：

2223d?241?2?24?2?92??932122?12?(?2)2?202545??15。 333.7空间直线的相关位置

7.求通过点??1,0,?2?且与平面3x?y?2z?1?0平行,又与直线交的直线方程.

解 设过点??1,0,?2?的所求直线为

x?1y?3z??相4?21

x?1yz?2??. XYZ∵ 它与已知平面3x?y?2z?1?0平行,所以有3x?y?2z?0 （1） 又∵ 直线与已知直线相交,那么必共面.

∴ 又有

1?13?00?24X?2Y1Z?0

即 7x+|8y-12z=0 (2) 由(1),(2)得 X:Y:Z??1833?1::??4:50:31 ?12?1277822而 ?4:50:31?4:??2?:1 ∴ 所求直线的方程为

x?1yz?2??. ?45031?x?y?z?1?x?y?z?3,与?8. 求通过点??4,0,?1?且与两直线?都相交的直线方

2x?y?z?22x?4y?z?4??程.

解 设所求直线的方向矢量为则所求直线可写为

?v??x,y,z?,

x?4yz?1??. XYZ∵ 直线l1平行于矢量

?n1?n2??1,1,1???2,?1,?1???0,3,?3?

1的方向矢量.

??∴矢量由于

v??0,3,?3?为直线l11?12?0因此令y=o解方程组得

x=1,z=o

∴ 点(1,o,o) 为直线l1上的一点. ∴ 直线l1的标准方程为

x?5yz?2. ??5?16∵ l与l1,l2都相交且l1过点M1?1,0,0?.方向矢量为 l2过点M2?1,0,?2?,方向矢量v1??0,3,?3?.

?v2??5,?1,6?.

?

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