理科数学高考大题题训练含答案(4)

12、解：（1）证明：当n?1时，a1?S1?(m?1)?ma1，解得a1?1．…………………1分

当n?2时，an?Sn?Sn?1?man?1?man．即(1?m)an?man?1．…………………2分 又m为常数，且

，∴

anm?(n?2)．………………………3分 an?11?mm的等比数列．……………………4分 1?m∴数列{an}是首项为1，公比为

（2）解：b1?2a1?2…5分 ∵bn?bn?11111，∴??1，即??1(n?2)．…7分

bnbn?1bnbn?11?bn?1?1?1∴??是首项为，公差为1的等差数列．………………………………………8分

2?bn?∴

2112n?1??(n?1)?1?，即bn?2n?1bn22(n?N?)．……………………………9分

22n?1?2n(2n?1)． （3）解：由（2）知bn?，则

2n?1bn222324???所以Tn?b1b2b31232n2n?1??， …10分 bn?1bn?2n?1?(2n?3)?2n?(2n?1)， ① ……11分 ?2n?(2n?3)?2n?1?(2n?1)， ②………12分

?2n?1，……………………13分

即Tn?2?1?2?3?2?5?则2Tn?2?1?2?3?2?5?②－①得Tn?2故Tn?2n?1234n?1?(2n?1)?2?23?24?23(1?2n?1)?(2n?1)?2??2n?1?(2n?3)?6．……………………14分

1?23 213、（1）证:由题意得A(?6,0),F(4,0)，xN?9 ?xM?又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM?53 ?????????3分 21553553,?),MF?(,?)22227575?MA?MF????0

44?MA?MF?MA?(??????????6分

（2）解:（方法一）设N(9,t)，其中t?0

?圆过A,F,N三点，?圆心在线段AF的中垂线上

16

设圆心为(?1,b)，半径为r，有r?(?1?4)2?b2?(?1?9)2?((b?t)2

t2?75175?b??(t?)，PQ?2r2?1?2b2?24 ?????????10分

2t2t?t?0，?b?t?7575?53，当且仅当t?,即t?53时取“=”

tt?PQ?299?611.?PQ的取值范围是[611,??) ?????????14分

（方法二）解：设N(9,t)，其中t?0，?圆过A,F,N三点，

?设该圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，有

?36?6D?F?075? 解得 D?2,E??t?,F??24 ?16?4D?F?0t?81?t2?9D?tE?F?0?175175?圆心为(?1,(t?)),半径r?25?(t?)2

2t4t175?PQ?2r2?1?224?(t?)2， ?????????10分

4t?t?0

?t?757575?2t??103，当且仅当t?,即t?53时取“=”

ttt?PQ?299?611，?PQ的取值范围是[611,??). ?????????14分

14、

17

x2y215、解：（1）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)， ……1分

ab离心率e?3c3,c?3，?a?2，b2?1…… 3分 ，右焦点为F (3 , 0)，??2a218

x2?y2?1．…… 4分 故椭圆C的方程为4（2）假设椭圆C上存在点P（x0,y0），使得向量OP?OA与FA共线，……5分

OP?OA?(x0,y0?1)，FA?(?3,1)，?x0??3(y0?1) （1） ……6分

又

x02x22?y?1上，??y02?1 （2） ……8分 点P（x0,y0）在椭圆44831,)， ……11分 77由（1）、（2）组成方程组解得：P(0,?1)，或P(?当点P的坐标为(0,?1)时，直线AP的方程为y?0， 当点P的坐标为P(?831,)时，直线AP的方程为3x?4y?4?0， 77故直线AP的方程为y?0或3x?4y?4?0． ……14分 16、解：（Ⅰ）又f'?x??a?f(x)在x?2时有极值，?有f'?2??0， ?????????2分

a4a2a??1?0a??，有， ?????????4分 ??54x2x4422?有f'?x???2??2?2x2?5x?2?，

55xx5x1由f'?x??0有x1? , x2?2， ?????????6分

2又x?0?x,f'?x?,f?x?关系有下表

x f'?x? f?x? 0?x?1 2x?1 2? 递增 0 1?x?2 2? 递减 x?2 0 x?2 ? 递增 ?1??1??f(x)的递增区间为?0,? 和 ?2,???， 递减区间为?,2? ????????9分

?2??2?（Ⅱ）若f(x)在定义域上是增函数,则f'?x??0在x?0时恒成立，???????10分

a2ax2?2x?af'?x??a?2??， 2xxx?需x?0时ax2?2x?a?0恒成立，

19

化为a?2x恒成立，2x?12x2??1 ?a?1. ?????????14分 21x?1x?x17解：（Ⅰ）f￠(x)=2-2x-a， ????1分 x1易知f￠(x)在[,+ )上单调递减， ????2分

211∴当x?[, )时，f￠(x)?f/()3-a.??????3分

221当a33时，f￠(x)￡0在[,+ )上恒成立.

21∴当a33时，函数y=f(x)在[,+ )上单调递减.????5分

2

20

18、.解：（1）依题意，知f(x)的定义域为(0,??)， 当a?b?1121111?(x?2)(x?1)时，f(x)?lnx?x?x，f?(x)??x????????2分 242x222x令，解得x?1.(x?0)

因为g(x)?0有唯一解，所以g(x2)?0，当0?x?1时，f?(x)?0，此时f(x)单调递增； 当x?1时，f?(x)?0，此时f(x)单调递减。 所以f(x)的极大值为f(1)??（2）F(x)?lnx?3，此即为最大值????????4分 4ax?a1,x?(0,3]，则有k?F?(x0)?02?,在x0?(0,3]上恒成立， xx02，

取得最大值

，所以

2 ∴ 当

≥

时，

≥?????8分

(3)因为方程

2有唯一实数解，所以x?2mlnx?2mx?0有唯一实数解，

2x2?2mx?2m.令g?(x)?0，x2?mx?m?0 设g(x)?x?2mlnx?2mx，则g?(x)?xm?m2?4mm?m2?4m?0（舍去）因为m?0,x?0,所以x1?，x2?，

22当x?(0,x2)时，g?(x)?0，g(x)在(0,x2)上单调递减，

当x?(x2,??)时，g?(x)?0，g(x)在(x2,??)上单调递增， 当x?x2时，g?(x2)?0，g(x)取最小值g(x2).?????10分

2??g(x2)?0?x2?2mlnx2?2mx2?0则? 即?2

?g(x)?0x?mx?m?0??2?22所以2mlnx2?mx2?m?0,因为m?0,所以2lnx2?x2?1?0(?)?????12分 设函数h(x)?2lnx?x?1，因为当x?0时，h(x)是增函数，所以h(x)?0至多有一解.

∵

，∴方程(*)的解为

m?m2?4m?1，解得，即

2???14分

21

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