矩阵的QR分解方法及其应用(2)

2) 对A的第一列b2令a22(2)?b??，则有

?1??2??a12,a22,?an2?2??a12?0T2A(1)??????0???1??1??1??构造T使Tb???b??e

T22221(e1?Rn?1)，

?2?a22?A?2??2??an2?? ???? ．．．．

n?2??n?2??n??2Tbn?1) 对A??的第一列b?n?1??a构造使T,an?1n?1n?1,n?1n,n?1??Tn?1??b?n?1?e1

?n?1??n?1??b，则有 (e1?R2)，令an?1,n?1Tn?1A(n?2)?n?1??an???1,n?1?0????an?1,n? ?n?1??ann?n?1最后，令

0??I20??10??IT??n?2??????T1

?0Tn?1??0T3??0T2?则Q?TT，R?QTA?TA．

例2 用Givens变换法求矩阵A的QR分解，其中

?011???A??110?

?101???111解 1) 对A的第一列b????0,1,1?构造T1使T1b???b??e1，

T1??10?2???010??1?2???????11T12???100?，T12b????0?，T13??010?，T13(T12b??)???1??001??1??1???????0???22??11?11???20????2222?????1?1?． T1?T13T12???100?，T1A??0????1111?????0???0??22?22????1???1T1??2?2??2??1?????的第一列b??1,?Tb?b2) 对A?构造使T1122????2?????22??2??0?， 0??e1，

6

??T2?T12???????2313?31???3??1??2，T2A???2??0?3??12161?31??6?． 2??3?最后，令

???1???T??T??1??T2?????则有

026131??2?1???， 6?1??3?123601??2?1??． 6?2??3?????Q?TT??????0121226161?61????23??1??T，?R?QA???03??1????03?? 注2 使用Givens变换法求n阶矩阵A的QR分解时，三角矩阵R的第1行元素与…；R的第n?1T1A的第1行元素相同；R的第2行后n?1元素与T2A?1?的第1行元素相同；

行后两个元素与Tn?1A?n?2?的第1行元素相同；而R的第n行后一个元素与Tn?1A?n?2?的第1行元素相同．

3.2.3 利用Schmidt正交化方法，具体分解方法见定理1的证明过程．

例3试用Schmidt正交化方法求矩阵A的QR分解 ，其中 ??1i0???A???i0?i?．

?0i?1???解 将列向量a1???1,?i,0?,a2??i,0,i?,a3??0,?i,?1?,按照Schmidt正交化，可得

TTTb1?a1?(?1,?i,0)T，

ii1b2?a2?k21b1?(i,0,i)T?(?1,?i,0)T?(,,i)T，

222ii112b3?a3?k32b2?k31b1?(0,?i,?1)T?(,,i)T?(?1,?i,0)T?(1,?i,?1)T．

32223b再对b1,b2,b3单位化，可得qi?i(i?1,2,3).于是，有

bi7

?b1?1k21k31????(a1,a2,a3)?(b1,b2,b3)?01k32??(q1,q2,q3)??00?1????b2i?1??2??????01b3???00?1?2??i? 3??1???所以

???1i1??263?Q?(q??i??1,q2,q3)???i1?263?， ???1???02i63??

?i1???i1??b??1?22??222?i??R??1?b??01?3i???2??b?3????0?66?． 3?????001?????????002??3??例4试用Schmidt正交化方法求矩阵A的QR分解 ，其中

?A??01??11??．

??10??解 由已知，把列向量aTT1??0,1,1?，a2??1,1,0?，a3??1,0,1?11?TbT1?a1??0,1,1?，b2?a2?2b1???1,2,?2??．

再将b1,b2,b3单位化得

????2?0???q11??1???6?1?bb1?2b1?1??2?，q2?1??bb2?6b?1?2???． 23?6?1??1??2??????6??于是

8

???T正交化得1

????Q??????012122???6?2?1?T?，R?QA???6??01????6?1?2??． 3??6?则有A?QR．

注3 例3、例4给出了利用Schmidt正交化方法求上三角矩阵R的两种方法，且所列文献都没给出复数矩阵A的QR分解实例．

3.2.4 利用列初等变换法

步骤如下：

?ATA? 1)构造矩阵P???；

?A? 2)对P作初等列变换将ATA化为下三角矩阵R1，同时A化为矩阵Q1；

?R?3)对上述得到的矩阵?1?， 再利用初等列变换将Q1的各列向量化为单位向量得到

?Q1?Q， 则Q为正交矩阵，同时R1?RT，即R?R1T．

例5 使用列初等变换法求矩阵A的QR分解 ，其中

?13???A??21?．

?11????ATA??121??66?T 解 取A???，并且对P施行初等?， 则AA???，令矩阵P???311??611??A?T列变换，将ATA化为下三角矩阵R1．

?66??60?????61165????R??ATA??c2?c1P????12???1?． ???13????Q?????A??21??1????2?1??11??10??????R?下面对得到的矩阵?1?，再利用初等列变换化使Q1的各列向量为单位向量，即

?Q1?9

?6??R??6?1???1?Q???1??2?1????0???5?11??c1,?c265??2?????????1???0??????661626160??5??2?T?R?5????． ?1??Q??5??0???所以

????Q??????

1626162??5??61???，R???05???0??6??． 5??4 矩阵的QR分解的应用

数学分析，高等代数以及概率论与数理统计都给出了最小二乘法的具体解法．下面介绍矩阵的QR分解在求解线性方程组最小二乘法问题中的重要应用．

4.1 关于QR分解应用于最小二乘法的一个定理

设A?Rm?m的QR分解为

A?QR

b?Ax2?QT(b?Ax)2?QTb?QTAx2=QTb?Rx2 (1)

?QTb?Rx??0QTb?Rx (2) b?Ax2?min 2 因此求Ax?b的最小二乘解，等价于求式(1)左边的上三角方程组．由(2)式又可得

T Rx?Qb?TRR?xTRTQ?bT T A b (3) A?Ax其中方程组ATAx?ATb称为Ax?b的法方程组．由于法方程组系数矩阵是正定的，所以有唯一的解，也就是Ax?b的最小二乘解．因此可得以下定理．

7定理3?? 设A?Rm?m，并且A?0，b?Rm，则Ax?b的最小二乘问题有唯一解．此

解为上三角方程组Rx?QTb的解，也为法方程组ATAx?ATb的解．

4.2 一个具体实例

例6 求方程组Ax?b的最小二乘解，其中

10

?111??1???A??2?1?1?，b??1?2?45??1??????． ??解 由例1可知A的QR分解为

??1?2?2???33?3?1????Q???2?12? ，R??0?33?．

3???00?3???22?1???又因为

??1?2?2??1???5???11?1?1??????1??QTb???2?12??1????1?，Rx?3?0?11?x．

3??00?1???1?3??1??22?1????????因此

??11?1???5?1????3?0?11?x???1?．

3???00?1?????1?故Ax?b的最小二乘解为

xLS??11?1???5??6?1????1????0?11???1???2?． 9????1?9??1?00?1???????1

参 考 文 献

[1] 廖安平，刘建州．矩阵论[M]．长沙：湖南大学出版社，2005．7． [2] 王萼芳，石生明．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2003．2． [3] 程云鹏，张凯院，徐仲．矩阵论[M]．西安：西北工业大学出版社，2006．9． [4] 张凯院，徐仲．矩阵论同步学习辅导[M]．西安：西北工业大学出版社，2002．10． [5] 程林凤，胡建华．矩阵论[M]．徐州：中国矿业大学出版社，2009．8．

[6] 吴强．基于矩阵初等变换的矩阵分解[J]．西南民族学院学报，20:4(2000), 105-107． [7] 关红钧，苏艳华．关于n阶矩阵的三角分解[J]．沈阳航空工业学院学报，18:4(2001), 38-40．

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