矩阵的QR分解方法及其应用

矩阵的QR分解方法及其应用

摘 要 论述了矩阵的QR分解的四种方法及其在最小二乘法方面的应用． 关键词 Givens矩阵；正交矩阵；上三角矩阵． 中图分类号 O151．

The QR decomposition methods of matrix and it's applications

Wang Jingjing Instructor Li Jin

(No，29，Class4 of 2013，Specialty of mathematics and Applied Mathematics，Hexi University，

Zhangye，Gansu，734000)

Abstract： This paper discusses four kinds of QR decomposition methods of matrix and it’s

applications in the least square method． Keywords： Householder matrix；Givens matrix；orthogonal matrix；the triangle matrix．

1 引言

本文将方阵的QR分解拓展到非方的QR分解情形．按照矩阵的Householder变换，Givens变换，Schmidt正交化，列初等变化法，具体地给出了矩阵QR分解的四种方法；并且自己给出了非奇异复数矩阵QR分解的具体过程．矩阵的QR分解在数值代数中有重要的应用，本文给出了有关线性方程组的最小二乘法问题的具体应用．

2 预备知识

2.1 几个定义

定义1 如果实(复)非奇异矩阵A能够化成正交（酉）矩阵Q与实(复)非奇异上三角矩阵R的乘积，即

A?QR，

?1?则称上式为A的QR分解．

定义2 设u?Rn是单位列向量，即uTu?1， 称矩阵

H?I?2uuT

?2? 为Householder矩阵．由Householder矩阵确定的Rn上的线性变换y?Hx称为

1

Householder变换． 若u不是单位向量， 则定义H?I?应的变换成为Householder变换(初等反射变换)．

Householder矩阵具有如下性质： 1)HT?H（对称矩阵）； 2)HTH?E（正交矩阵）； 3)H2?E（对合矩阵）； 4)H?1?H（自逆矩阵）； 定义3 设实数c与s满足c2?s2?1????1?c???1?Tij??????s1????????i?

?4?2uT为Householder矩阵， 对uu22?3??1，称

?????s??i??? ?i?j? ????j??c??1????1??j?

为Givens矩阵．由Givens矩阵所确定的线性变换称为Givens变换(初等旋转变换)．

定义4 设V是复数域上的线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作(?,?)，它具有以下性质：

1)?(?,?)?(?,，这里)(?,?)是(?,?)的共轭复数；

(??,?)k?(?,； 2)k(??,??)?(?,?)?(；?, 3)?(?,是非负实数，且)(?,?)?0当且仅当??0． 4)?这里?,?,?是V中任意的向量，k为任意复数，这样的线性空间称为酉空间．

2.2 几个引理

引理1?? 设x?(?1,?2,??n)T?0则存在有限个Givens矩阵的乘积，记作T，使得

5Tx?xe1

引理2?? 任何实(复)的非奇异n阶矩阵A可分解为正交矩阵（酉）Q和实(复)的非

6奇异上三角矩阵R的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值（模）全等于1的对角

2

矩阵因子外，分解式A?QR是惟一的．

证明 存在性 记矩阵A的n个列向量依次为a1,a2,?,an.因为A非奇异，所以这n个列向量线性无关． 将它们按Schmidt正交化方法正交化，可得到n个标准正交列向量

q1,q2,?,qn.对a1,a2,?,an正交化，可得

??b1?a1??b2?a2?k21b1 ????bn?an?kn,n?1bn?1???kn1b1其中，k??ai,bj?ij?b?j?i?.将上式改写为

j,bj???a1?b1??a2?k21b1+b2?? ??an?kn1b1?kn2b2???kn,n?1bn?1?bn用矩阵形式表示为?a1,a2,?,an???b1,b2,?,bn?C，其中

??1k21?kn1?C??1?k?n2?? ?????1??再对bbbi1,2,?,bn单位化，可得qi?b?i?1,2,?,n?．于是有

i??b1?ab21,a2,?,an???b1,b2,?,bn?C? ?q1,q2,?,qn??????令

Q??q1,q2,?,qn?，

R?diag?b1,b2,?bn??C．

则Q是正交(酉)矩阵，R是上三角矩阵，且有A=QR．

唯一性 (略)

3 主要结论

3.1 定理

3

????C b?n???

设A是m?n实(复)矩阵，且rankA?n则A可以分解为

A?QR

其中Q是m?n实(复)矩阵，且满足QTQ?I．R是n阶实(复)非奇异上三角矩阵．该分解除去相差一个对角线元素之绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外，分解式A?QR是惟一的．

证明 存在性 由于A是列满秩矩阵，故ATA是对称正定矩阵，从而有

ATA?GGT．其中G非奇异下三角矩阵．令Q?A(GT)?1．则A?QGT且Q满足

QTQ?G?1ATA(GT)?1?G?1GGT(GT)?1?I

再记R?QT，则得到A的QR分解A?QR．

唯一性 假设A有两种正交三角分解式，即A?Q1R1?Q2R2，其中Q1，Q2为正交矩阵，R1，R2为上三角矩阵，且主对角元素均为正数．于是有Q1?Q2R2R1?1?Q2D．这里，

D?R2R1?1仍为实非奇异上三角矩阵．于是

T I?Q)T(Q)?1Q1?(Q2D2DT DD这表明D不仅为正交矩阵，而且还是对角元素的绝对值全为1的对角矩阵． 同理，

I?Q1Q1?(Q2D)T(Q2D)?DD．

TT即，D不仅为酉矩阵，而且还是对角元素的模全为1的对角矩阵．从而R1?R2,Q1?Q2

证毕．

3.2 矩阵QR分解的常用方法 3.2.1 利用Householder矩阵变换法

将矩阵A的列向量依次实施Householder变换， 简记为H， 使之化为具有1个非零元，2个非零元，…， n个非零元作为列向量的上三角矩阵R， 即若有，则Q?H1?1H2?1?Hn?1?1． Hn?1?H2H1A?R设A?(X1,X2,...,Xn)为n阶矩阵，步骤如下：

1)?r?Sign(xrr)(?x)，(r?1,2,...,n?1)，(约定Sign(0)?1)；

i?rn122rr2)ur?xr??r，ui?0(i?1,2,...,r?1)，ui?xi(i?r?1,r?2,...,n?1)，u?(u1,u2,...,un)T 4)?r??rur；

5)Hr?I??r?1uuT，Ar?HrAr?1(A0?A)； 6)R?Hn?1?H2H1A，Q?H1?1H2?1?Hn?1?1．

例1 用Householder变换法求矩阵A的QR分解，其中

4

?111???A??2?1?1?．

?2?45??? 解 (1)求H1，作A1?H1A．

?1?Sign(a11)(?a)?3；

i?13122i1u1?a11??1?4，u2?a21?2，u3?a31?2，u?(4,2,2)T；

?1??1u1?3?4?12；

??1?2?2???33?3?1????H1?I??1?1uuT???22?1?，A1?H1A??00?3?．

3??0?33??????3?12?(2)求H2，作A2?H2A1?R．

?2?Sign(a22)(?a)?3；

i?23122i2u2?a22??2?3，u1?0，u3?a32??3，u?(0,3,?3)T；

?2??2u2?3?3?9

?100???33?3?????H2?I??2?1uuT??001?，A2?H2A1??0?33??R．

?010??00?3?????故

??1?2?2?1??Q?H1H2???2?12?．

3????22?1?由矩阵乘法可直接验证A?QR．

注1 用Householder变换法进行矩阵A的QR分解时，即使A不是满秩矩阵也可以进行分解，但此时R是奇异矩阵．

3.2.2 利用Givens矩阵变换法

设A?(X1,X2,...,Xn)为n阶矩阵，步骤如下：

1111) 对A的第一列b????a11,a21,?an1?构造T1使T1b???b??e1 (e1?Rn)，

T1令a11(1)?b??，则有

?1??a11??0T1A?????0??1?a21?A??1?1??an1?? ????5

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