培优讲义-等差数列等比数列(3)

?d2?4,又d?0,?d?2,代入①得a1?1?an?1?(n?1)?2?2n?1（2）令cn?两式相减

bn,则有an?c1?c2???cn,an?1?c1?c2???cn?1 n2

an?1?an?cn?1,由(1)得a1?1,an?1?an?2?cn?1?2,cn?2(n?2),即当n?2时，bn?2n?1又当n=1时，b1?2a1?2 ?2,(n?1)?bn??n?1?2(n?2)于是Sn?b1?b2?b3??bn?2?23?24???2n?1 =2?2?2?2???2234n?12(2n?1?1)?4?2n?2?6,即Sn?2n?2?6-4=

2?1

16.（2008四川卷）． 设数列?an?的前n项和为Sn，已知ban?2n??b?1?Sn （Ⅰ）证明：当b?2时，?an?n?2n?1?是等比数列； （Ⅱ）求?an?的通项公式

解 由题意知a1?2，且ban?2n??b?1?Sn

ban?1?2n?1??b?1?Sn?1

两式相减得b?an?1?an??2n??b?1?an?1 即an?1?ban?2n ①

（Ⅰ）当b?2时，由①知an?1?2an?2n

于是an?1??n?1??2n?2an?2n??n?1??2n ?2?an?n?2n?1?

又a1?1?2n?1?1?0，所以?an?n?2n?1?是首项为1，公比为2的等比数列。 （Ⅱ）当b?2时，由（Ⅰ）知an?n?2n?1?2n?1，即an??n?1?2n?1 当b?2时，由由①得

an?1?11b1???2n?1?ban?2n??2n?1?ban??2n?b?an??2n? 2?b2?b2?b2?b??11

因此an?1?11??2?1?b?n?b ?2n?1??b?an??2n??2?b2?b2?b??n?1?2?得an??1 nn?1??2??2?2b?b?n?2??2?b?117.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an?1?Sn,n=1，2，3，…，求

3 （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； （II）a2?a4?a6???a2n的值.

1解：（I）由a1=1，an?1?Sn，n=1，2，3，……，得

31111141116a2?S1?a1?，a3?S2?(a1?a2)?，a4?S3?(a1?a2?a3)?，

3333393327114由an?1?an?(Sn?Sn?1)?an（n≥2），得an?1?an（n≥2），

333141又a2=，所以an=()n?2(n≥2),

333?1?∴ 数列{an}的通项公式为an??14n?2()??33n?1n≥2

18.（2009常德期末）已知数列?an?的前n项和为Sn,a1?数列?bn?满足b1??11且Sn?Sn?1?an?1?，42119且3bn?bn?1?n(n?2且n?N?)． 4（１）求?an?的通项公式；

（２）求证：数列?bn?an?为等比数列; （３）求?bn?前n项和的最小值．

解： (1)由2Sn?2Sn?1?2an?1?1得2an?2an?1?1, an?an?1?∴an?a1?(n?1)d?1……2分 211n? ……………………………………4分 2412

11(2)∵3bn?bn?1?n,∴bn?bn?1?n,

33∴bn?an?1bn?1?1n?1n?1?1bn?1?1n?1?1(bn?1?1n?3);

33243643241113bn?1?an?1?bn?1?(n?1)??bn?1?n?

2424 ∴由上面两式得bn?an?1,又b1?a1??119?1??30

bn?1?an?13441∴数列?bn?an?是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分

311111(3)由(2)得bn?an??30?()n?1，∴bn?an?30?()n?1?n??30?()n?1

33243bn?bn?1?111111n??30?()n?1?(n?1)??30?()n?2 243243=1?30?(1)n?2(1?1)?1?20?(1)n?2?0 ，∴?bn?是递增数列 ………11分

23323当n=1时, b1??当n=4时, b4?1193510<0；当n=2时, b2??10<0；当n=3时, b3??<0；4443710?>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小. 49312且S3?1(1?3?5)?30?10?10??411…………………………13分

419.（2009上海青浦区）设数列?an?的前n和为Sn，已知S1?，S2?131316，S3?，33?(n?1)24n?1?(2?1),(当n为奇数时)?64?123，一般地，Sn??2（n?N*）． S4?3n4??(2n?1).(当n为偶数时)??123（1）求a4； （2）求a2n；

（3）求和：a1a2?a3a4?a5a6???a2n?1a2n．

（1）a4?16； ……3分 （2）当n?2k时，（k?N*）

13

a2k?S2k?S2k?1(2k)242k(2k)242k?2??(2?1)?[?(2?1)]?22k， ……6分 123123所以，a2n?4n（n?N*）． ……8分

1（3）与（2）同理可求得：a2n?1?(2n?1)， ……10分

3设a1a2?a3a4?a5a6???a2n?1a2n=Tn，

1则Tn?[4?3?42?5?43???(2n?1)?4n]，（用等比数列前n项和公式的推导

31方法）4Tn?[42?3?43?5?44???(2n?1)?4n?1]，相减得

31?3Tn?[4?2(42?43???4n)?(2n?1)?4n?1]，所以

3Tn?2n?1n?1324?4??(4n?1?1)?． ……14分 927920.（西城文）19.（本小题满分14分）

设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足bn?na??2a1?(n?1)a2?n?1?an，

3mn?N*，已知b1?m，b2?，其中m?0.

2 (Ⅰ) 求数列{an}的首项和公比； (Ⅱ) 当m?1时，求bn；

(Ⅲ) 设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有Sn?[1,3]，求实数m的取值范围. 答案：

解：(Ⅰ) 由已知b1?a1，所以a1?m，…………………2分

b2?2a1?a2， 所以2a1?a2?解得a2??3m， 2m1，所以数列{an}的公比q??.…………………4分 221(Ⅱ) 当m?1时，an?(?)n?1，bn?na1?(n?1)a2???2an?1?an………①，

21?bn?na2?(n?1)a3???2an?an?1……………②，……5分 2

14

3②?①得?bn??n?a2?a3???an?an?1，…………………7分

211?[1?(?)n]32??n?1[1?(?1)n]， 所以?bn??n?212321?(?)22n221n6n?2?(?2)1?nbn???(?)?.…………………9分

399291m[1?(?)n]2?2m?[1?(?1)n]，…………………10分 (Ⅲ)Sn?1321?(?)21因为1?(?)n?0，所以，由Sn?[1,3]得

2111?(?)n2?2m3， ?131?(?)n21313注意到，当n为奇数时1?(?)n?(1,]，当n为偶数时1?(?)n?[,1)，

2224133所以1?(?)n最大值为，最小值为.…………………12分

224对于任意的正整数n都有

111?(?)n2?2m3， ?31?(?1)n2所以

42m??2，2?m?3.…………………14分 33即所求实数m的取值范围是{m2?m?3}.

*a?3a??a?2n?1{a}(n?2，且 n?N). 1nn?1n21.（石景山理）在数列中，，

（Ⅰ）求a2，a3的值；

（Ⅱ）证明：数列{an?n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn. 答案：（本题满分13分）

*a??a?2n?1? a?3(n?2，且 n?N)， nn?11（Ⅰ）解：，

? a2??a1?4?1??6， ………..

15

2分

a3??a2?6?1?1. ……….. 4分 （Ⅱ）证明：

? an?n(?an?1?2n?1)?n?an?1?n?1????1an?1?(n?1)an?1?n?1an?1?n?1，

? 数列{an?n}是首项为a1?1?4，公比为?1的等比数列.………7分 ? an?n?4?(?1)n?1， 即an?4?(?1)n?1?n，

n?1*? {an}的通项公式为an?4?(?1)?n (n?N). ……8分 n?1*a?4?(?1)?n{a}(n?N)， nn?（Ⅲ）解： 的通项公式为

所以当n是奇数时，

Sn??ak??[4?(?1)k?1?k]?4?k?1k?1nnnnn(n?1)1??(n2?n?8)22. …….. 10分

1Sn??ak??[4?(?1)k?1?k]??(n2?n)2k?1k?1当n是偶数时，.…….. 12分 ?12?(n?n?8)，n是正奇数，??2Sn????1(n2?n)， n是正偶数.??2综上， ……….. 13分

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