培优讲义-等差数列等比数列(2)

则 (

n111)min=，(n∈N)，因此01或0

学生练习

一、选择题

1.（2010辽宁文）（3）设Sn为等比数列?an?的前n项和，已知3S3?a4?2，

3S2?a3?2，则公比q? （A）3 【答案】 B

解析：选B. 两式相减得， 3a3?a4?a3，a4?4a3,?q?a4?4. a3（B）4 （C）5 （D）6

2.（2010辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4=1, S3?7,则S5?

（A）【答案】B

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。

【解析】由a2a4=1可得a12q4?1，因此a1?1，又因为S3?a1(1?q?q2)?7，联2q15313317 (B) (C) (D)

2244111力两式有(?3)(?2)?0，所以q=,所以S5?2qq4?(1?1)25?31，故选B。 141?23.（2010广东理）. 已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2?a3?2a1， 且a4与2a7的等差中项为

5，则S5= 4A．35 B.33 C.31 D.29

6

【答案】C解析：设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2?a3?a1?a4?2a1，即a4?2。由a4与2a7的等差中项为

a7?15151(2??a4)?(2??2)?． 2424411a71?，即q?．a4?a1q3?a1??2，即a1?16．

28a4855知，a4?2a7?2?，即44 ∴q3?24.（2009宁夏海南卷文）等差数列?an?的前n项和为Sn，已知am?1?am?1?am?0，

S2m?1?38,则m?

A.38 B.20 C.10 D.9

【答案】C【解析】因为?an?是等差数列，所以，am?1?am?1?2am，由

22am?1?am?1?am?0，得：2am－am＝0，所以，am＝2，又S2m?1?38，即

(2m?1)(a1?a2m?1)＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。

25.（2009重庆卷文）设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn=（ ）

n27nn25nn23nA．? B．? C．?

332444D．n2?n

【答案】A【解析】设数列{an}的公差为d，则根据题意得(2?2d)2?2?(2?5d)，解得d?

1

或d?0（舍去），所以数列{an}的前n项和2

n(n?1)12nSn?2n????224

n741，则a1a2?a2a3???anan?1=4a2?2，a5?6.（2008浙江）已知?an?是等比数列，

（ ）

3232A.16（1?4?n） B.6（1?2?n） C.（1?4?n） D.（1?2?n）

33 7

答案 C

7.(北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列{an}中，若

2an?an?1?an?1?0(n?N?,n?2)，则S2009等于 （ ）

A．0 B．2 C．2009 D．4018 答案 D

8. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理) 若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列{log2an}是（ ）

A. 公差为2的等差数列 B. 公差为lg2的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为lg2的等比数列 答案 A 二、填空题

9.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比数列，则答案

13 16a1?a3?a9的值为 ．

a2?a4?a10?n?1,n为奇数a?10.（2009福州八中）已知数列n?则a1?a100?＿＿＿＿ ,

?n,n为偶数a1?a2?a3?a4???a99?a100?＿＿＿＿

答案 100． 5000；

11.（2010福建理）11．在等比数列?an?中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an? ． 【答案】4n-1

【解析】由题意知a1?4a1?16a1?21，解得a1?1，所以通项an?4n-1。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。

8

三、解答题

12.（2010上海文）(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N* (1)证明：?an?1?是等比数列；

(2)求数列?Sn?的通项公式，并求出使得Sn?1?Sn成立的最小正整数n. 解析：(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以

a5n?1?6(an?1?1)，

又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列；

n?1(2) 由(1)知：a5??n?1n?1??15????6??，得a5?n?1?15???6??，从而

n?1S?5?n?75???6???n?90(n?N*)；

n?1由S52n?n，得???1>S?6???5，n?log2525?1?14.9，最小正整数n?15． 613.（2010陕西文）（本小题满分12分） 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项;

（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.

解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得

1?2d1?1＝8d1?2d， 解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2am=2n，由等比数列前n项和公式得

S2

3

…+2n

=2(1?2n)n+1

m=2+2+2+1?2=2-2.

9

a2?2,an＋2＝14.（2009陕西卷文）已知数列?an}满足， a1＝1’an?an?1,n?N*. 2???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求?an}的通项公式。 （1）证b1?a2?a1?1, 当n?2时，bn?an?1?an?an?1?an11?an??(an?an?1)??bn?1, 2221所以?bn?是以1为首项，?为公比的等比数列。

21（2）解由（1）知bn?an?1?an?(?)n?1,

211当n?2时，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?1?1?(?)???(?)n?2

2211?(?)n?1215212?1?[1?(?)n?2]??(?)n?1, ?1?1323321?(?)2521521当n?1时，?(?)1?1?1?a1。所以an??(?)n?1(n?N*)。

33233215.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列， 且满足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝求数列{bn}的前n项和Sn

解（1）解：设等差数列?an?的公差为d，则依题设d>0 由a2+a7＝16.得2a1?7d?16 ① 由a3?a6?55,得(a1?2d)(a1?5d)?55 ②

由①得2a1?16?7d将其代入②得(16?3d)(16?3d)?220。即256?9d2?220

10

b1b2b3b?2?3?...n(n为正整数)，n2222

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