培优讲义-等差数列等比数列

高一数学培优学案 2011-3

一、 知识框架

等差数列的 性质 正 整

二、 要点

数集等 差 数 列 数 列 的 概 念 有关应用 通项及 前n项和 1．数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

?S1,n?12．一个常用的公式：已知Sn，则an??

S?S,n?2n?1?n三、等差数列

1.定义：an?1?an?d(n?1,d为常数)；

2.通项公式：an?a1?(n?1)d ?an?am?(m?n)d 3.前n项和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 224.等差数列常用性质：

（1）对于任意的整数p,q,r,s，如果p?q?r?s，那么ap?aq?ar?as； 特别地，对于任意的正整数p,q,r，如果p?r?2q，则ap?ar?2aq； （2）对于任意的正整数n>1，有2an?an?1?an?1；

（3）Sn是等差数列?an?的前n项和，则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k 仍成等差数列； （4）等差数列{an}中，an?pn?q；Sn?an2?bn，反之也成立 （5）等差中项：若a,A,b成等差数列，则称A是a,b的等差中项，A?四、等比数列：

a?b 2 等 比 数 列 等比数列的 性质 1

1.定义：

an?1?q(n?1,q?0) 。 an2.通项公式：an?a1qn?1 ?an?am?qn?m 3.前n项和公式：若q?1，则Sn?na1；

a1(1?qn)a1?anq 若q?1，则Sn? ?1?q1?q4.等比数列常用性质：

（1）对于任意的正整数p,q,r,s,如果p?q?r?s，则apaq?aras； 特别地，对于任意的正整数p,q,r，如果2q?p?r，则apar?aq （2）对于任意的正整数n>1,有an?an?1an?1； （3）如果an?0，则{logaan}是等差数列；

（4）数列{logaan}是等差数列，则{an}是等比数列；

（5） 等差中项：若a,G,b成等比数列，则称G是a,b的等比中项， 重点：①等差数列的概念及其通项公式与前n项和公式；②等比数列的概念及其等比数列通项公式与前n项和公式；③等差数列和等比数列的性质；④等差数列、等比数列的综合及其应用．

难点：①等差数列和等比数列的性质；②等差数列、等比数列的综合及其应用． 五、教学过程设计 (一)、课前训练

1．已知{an}是首项a1?1，公差d?3的等差数列，如果an?2008，则序号n等于 （ D ） （A）667 （B）668 （C）669 （D）670

2．等差数列{an}中,a10?30,a20?50，则通项an?2n?10，前11项和为242. 3．数列{an}中，a1?2，a7?1，又数列{2271 }为等差数列，则a11?11an?14．设数列{an}的前n项和Sn（二）、典型例题 ①用定义解题

?3n?c，且数列{an}是一个等比数列,则c=1 2

例1、已知数列{an}的前n项和Sn（ ） （A）等差数列

，则数列{an}为 ?aqn?1(a?0,q?1,q为非零常数）

（B）等比数列

（C）既不是等差数列，又不是等比数列 （D）既是等差数列又是等比数列

解：当n?1时，a1?S1?a，当n?2时，an∴an?1an?q(n?2)为常数,但

a2?q?1?qa1?Sn?Sn?1?aqn?1(q?1)，an?1?aqn(q?1)，

，∴数列{an}从第二项起为等比数列，故

选C

例2、 已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有

f(x?2)?2f(x?1)?f(x)，且f(1)?2,f(3)?6，则f(2007)? 解：由f(x?2)?f(x)?2f(x?1)知函数f(x)(x?N*)当x从小到大依次取值

)形成一个首时对应的一系列函数值组成一个等差数列，f(1),f(3),?,f(2005)?2?(1004?1)?4?4014 项为2，公差为4的等差数列，所以f(2007②用性质解题

例3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S6则n的值为 ．

解：由条件知an?an?1?an?2?an?3?an?4?an?5=Sn?Sn?6?324?144?180，

?36，Sn?324，若Sn?6?144(n?6)，

又a1?a2?a3?a4?a5?a6?S6?36，an?a1????????an?5?a6， ∴6(an?a1)?36?180?216，∴an?a1?36，Sn③用基本量方法解题

例4、已知{ an }是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列. （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥

2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）由题设2a3?a1?a2,即2a1q2?a1?a1q, ?a1?0,?2q2?q?1?0.

1?q?1或?.

2

3

?n(an?a1)n?36??324，∴n=18 22n(n?1)n2?3n?1?. （Ⅱ）若q?1,则Sn?2n?22当n?2时,Sn?bn?Sn?1?(n?1)(n?2)?0. 故Sn?bn.

21n(n?1)1?n2?9n(?)?. 若q??,则Sn?2n?2224当n?2时,Sn?bn?Sn?1??(n?1)(n?10),

4故对于n?N?,当2?n?9时,Sn?bn;当n?10时,Sn?bn;当n?11时,Sn?bn. ④用函数解题

例5、设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围；

(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.

??a3?a1?2d?12,?12?11?.(1)解：依题意有：?S12?12a1?d?0

2?13?12?S?13a?d?0131?2?解之得公差d的取值范围为－

24＜d＜－3. 7(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即?∵a3=12,∴?∵－

?a3?(k?3)d?0

a?(k?2)d?0?3?kd?3d?121212，∵d＜0,∴2－＜k≤3－

dd?kd?2d?1272412＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.

27d因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.

解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，因此，若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=

2S1313 4

＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12=S12>0,∴a6≥－a7>0,故在S1，S2，…，S12中S6最大. 解法三：依题意得：Sn?na1?(n?1)d?n(12?2d)?(n2?n)

d124d24124?[n?(5?)]2?(5?)2,?d?0,?[n?(5?)]2最小时，Sn最大； 22d8d2dn2d216∵－－

112424＜d＜－3,∴6＜(5－)＜6.5.从而，在正整数中，当n=6时，［n－ (5

227d24)］2最小，所以S6最大. d点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值Sk,1≤k≤12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1＜0，思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解. 例6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=44,S7=35 （1）求数列{an}的通项公式与前n项和公式； （2）求数列{|an|}的前n项和Tn。

解：（1）设数列的公差为d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4 ∴an=-4n+21 (n∈N),Sn=-2n2+19 (n∈N). （2）由an=-4n+21≥0 得n≤

21, 4故当n≤5时，an≥0, 当n≥6时，an?0

当n≤5时,Tn=Sn=-2n2+19n 当n≥6时,Tn=2S5-Sn=2n2-19n+90. 例7、已知数列?an?是以a为首项，a为公比的等比数列(a>0,a≠1)，令bn=anlgan若?bn?中每一项总小于它后面的项，求a的范围。

点拨：由已知得an=an，则bn=nanlga，又bn?1> bn，则nlga<(n+1)alga （1）当a>1时，a>

n显然成立。 n?1nx，令f(x)=，则f(x)在(0,+∞)上是增函数， n?1x?1（2）当０

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