画法几何及机械制图(7)

图35 徒手画直线

(2) 徒手画圆及圆弧

画圆时，应定出圆心的位置，过圆心画中心线。画小圆时，可在对称中心线上取四个点，过四点画圆，如图36（a）所示。画大圆时，可过圆心增画两条45°的辅助斜线，在斜线上再定四点，过八点画圆。如图36（b）所示。

(b) 图36 徒手画圆

画圆弧、椭圆等曲线时，同样用目测定出曲线上若干点，光滑连接即可。如图37所示。

(a)

图37 徒手画圆角及椭圆

第二章 点、直线和平面

点、直线和平面是组成物体的基本几何元素。研究和掌握点、直线、平面的投影性质和规律，是学习物体投影的基础。本章将研究点、直线和平面的投影以及它们之间的关系。

1 点

1.1 点在两投影面体系中的投影 1.1.1 两投影面体系的建立

两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。

水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、 第二分角、 第三分角、 第四分角。

1.1.2 点在两投影面体系中的投影

(1) 投影如图2所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A 向水平面作垂线，得垂足a ，则a 称为空间点A的水平投影。画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′ax 和aax 。

图2 点在两投影面体系中的投影

(2) 注写规定空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。

(3) 投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。则得到点A的两面投影图。

(4) 擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。

1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律

(b) 图3 点在两投影面体系中的投影规律

(1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。

在图3(a)中，点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′垂直于V和H面。根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aax⊥a′ax、aax⊥OX和a′ax⊥OX。当a随H面旋转重合于V面时，aax⊥OX的关系不变。因此，在投影图上，aa′⊥OX。

(2) 一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离；其正面投影到OX轴的距离等于该点到H面的距离，即aax=Aa′；a′ax=Aa。

(a)

在图3(a)中，因为Aaaxa′是矩形，所以aax=Aa′; a′ax=Aa。 1.1.4 各种位置点的投影 (1) 点在各分角内。

1) 第一分角内点A，其水平投影a在OX轴下方，正面投影a′在OX轴上方。 2) 第二分角内点B，其水平投影b在OX轴上方，正面投影b′在OX轴上方。 3) 第三分角内点C，其水平投影c在OX轴上方，正面投影c′在OX轴下方。 4) 第四分角内点D，其水平投影d在OX轴下方，正面投影d′在OX轴下方。 各分角内点的投影如图4所示。

图4 分角内点的投影

(2) 点在各投影面内。

1) H面内点K，其水平投影k与该点（K）重合，正面投影k′在OX轴上。 2) H面内点M，其水平投影m与该点（M）重合，正面投影m′在OX轴上。 3) V面内点L，其水平投影l在OX轴上，正面投影l′与该点（L）重合。 4) V面内点N，其水平投影n在OX轴上，正面投影n′与该点（N）重合。

如图5所示，投影面内点的投影特点为：点在其所在的投影面上的投影与该点重合；点的另一投影在OX轴上。

图5 投影面内点的投影

(3) 点在投影轴上。

点在投影轴上，其水平投影和正面投影与该点重合。如图6所示，G点在OX轴上，其水平投影g和正面投影g'与点G重合于OX轴上。

图6 投影轴上点的投影

1.2 点在三投影面体系中的投影 1.2.1 三投影面体系的建立

如图7所示，三投影面体系是在V⊥H两投影面体系的基础上，增加一个与V、H投影面都垂直的侧立投影面Ｗ（简称侧面）组成的。三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影轴，V面和H面的交线为OX轴，H面和W面的交线为OY轴，V面和W面的交线为OZ轴。OX、OY、OZ轴垂直相交于一点O，称为原点。

我们只在第一分角内研究各种问题。

图7 三投影面体系的建立 图8 点在三投影面体系中的投影

1.2.2 点的三面投影

(1) 投影如图8所示，设空间点A处于第一分角，按正投影法将点A分别向H、V、W面作垂线，其垂足即为点A的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″（点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示）。

(2) 投影面展开 为了把空间点A的三面投影表示在一个平面上，保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合；W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合。在展开过程中，OX轴和OZ轴位置不变，OY轴被“一分为二”，其中随H面向下旋转与OZ轴重合的一半，用OYH表示；随W面向右旋转与OX轴重合的一半，用OYW表示 。

(3) 擦去边界，得到点的三面投影图擦去投影面边界线，则得到A点的三面投影图。 1.2.3 点的三面投影规律

如图9所示，三投影面体系可以看成由V⊥H、V⊥W两个两投影面体系组成。根据点在两投影面体系中的投影规律，可知点在三投影面体系中的投影规律为：

1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a ⊥OX； 2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a\⊥OZ；

3) 愕乃?酵队暗?em>OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离都等于该点到V面的距离，即aax=a″az＝Aa′。

为了保持点的三面投影之间的关系，作图时应使aa′⊥OX、a′a″⊥OZ。而aax=a″az可用图9(b)所示的以O为圆心，aax或a″az为半径的圆弧，或用图9(c)所示的过O点与水平成45°的辅助线来实现。

(b) (c)

图9 点在三投影面体系中的投影规律

1.2.4 点的投影的直角坐标表示法

如图9，如果把三投影面体系看作笛卡尔直角坐标系，则H、V、W面为坐标面，OX、OY、OZ轴为坐标轴，O为坐标原点。则点A到三个投影面的距离可以用直角坐标表示：

点A到W面的距离Aa″=点A的x坐标值xA，且Aa″=aay=a′az=axO； 点A到V面的距离Aa′=点A的y坐标值yA，且Aa′=aax=a″az=ayO； 点A到H面的距离Aa=点A的z坐标值zA，且Aa=a′ax=a″ay=azO 。

点A的位置可由其坐标（xA、yA、zA）唯一地确定。其投影的坐标分别为：水平投影a（xA，yA，0）；正面投影a′（xA，0，zA）；侧面投影a″（0，yA，zA）。

因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。反之，已知一点的两面投影，也就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。

【例1】已知空间点A(12,8,16)、点B(8,12,0)、点C(0,0,10),求作它们的三面投影图。

【解】点A的三个坐标都为正值，故点A在第一分角内；点B的三个坐标中，z=0，即B到H面的距离等于零，故点B在H面内；点C的三个坐标中，x=0,y=0,即C到W面和V面的距离都为零，故点C在OZ轴上。

如图10(a)所示，求点A的三面投影图的步骤如下： (1) 画投影轴； (2) 求 a、a′

① 由原点O向左沿OX轴量取12mm得ax； ② 过ax作OX轴的垂线；

③ 在垂线上自ax 向下（OYH方向）量取8mm得a； ④ 在垂线上自ax 向上(OZ方向）量取16mm得a′； (3) 求 a″

① 过a′作a′az⊥OZ轴，交OZ轴于az；

② 过a作aaYH⊥OYH轴，交OYH轴于aYH，利用45°辅助线在OYW轴上得aYW； ③ 自aYW向上作OYW轴的垂线与aaz的延长线交于a″。

用同样的方法可作出B点的三面投影图如图10(b)所示，C点的三面投影图如图10(c)所示。

(a)

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