高考专题讲解之圆锥曲线全部经典题型(2)

（2）若e?(,)，求实数m的取值范围； （3）若AP?l?M,AQ?l?N，

求证：M、N两点的纵坐标之积为定值；

1223y227.已知椭圆x?2?1?b??0,1??的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，

b过F,B,C三点作圆P，其中圆心P的坐标为?m,n? （1）当m?n＞0时，椭圆的离心率的取值范围 （2）直线AB能否和圆P相切？证明你的结论

228.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.C:y?4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

2?????????（I）证明: OM?OP为定值;

（II）若△POM的面积为

5，求向量OM与OP的夹角； 2(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.

x2y229.已知椭圆C：??1上动点P到定点M?m,0?,其中

420?m?2的距离PM的最小值为1.

（1）请确定M点的坐标

（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足条件

第22题

????????????OA?OB?AB（O为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。

30.已知椭圆x?3y?5，直线l:y?k(x?1)与椭圆相交于A，B两点.

221，求直线AB的方程； 2????????（Ⅱ）在x轴上是否存在点M(m,0)，使MA?MB的值与k无关？若存在，求出m的

（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是?值；若不存在，请说明理由.

31.直线AB过抛物线x?2py?p?0? 的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB

2的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点．O是坐标原点． (I)求MA?MB 的取值范围；

MN?OF?0,NQ (Ⅱ)过 A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点．求证：

∥OF ;

(Ⅲ) 若P是不为1的正整数，当MA?MB?4P ，△ABN的面积的取值范围为

2?55,205 时，求该抛物线的方程．

?32.如图，设抛物线c1：y2?4mx（m?0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为

1的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P. 2（Ⅰ）当m?1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2，与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）是否存在实数m，使得?PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

焦点，离心率e?33.已知点A(?1,0),B(1,0)和动点P满足：?APB?2?,且存在正常数m，使得

PA?PBCOS2??m。

（1）求动点P的轨迹C的方程。

（2）设直线l:y?x?1与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若

DE?(2?3)DF,求m的值。

x2y234.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右准线l1:x?2与x轴相交于点D，右焦点F到上

ab顶点的距离为2，点C(m,0)是线段OF上的一个动点. （I）求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得(CA?CB)?BA,并说明理由.

x2y235.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0).

ab（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为

yRP3，求椭圆的标准方程； 2SOQx（2）在（1）的条件下，设过定点M?0,2?的直线l与椭圆C交于不同

的两点A、B，且?AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围;

x2y2（3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于

ab设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d?1时a,b满足的条件. P,S,R,Q四点，

????36.已知i?(1,0),c?(0,2),若过定点A(0,2)、以i??c(??R)为法向量的直线l1与

??过点B0,?2以c??i为法向量的直线l2相交于动点P．

??

(1)求直线l1和l2的方程; 定值；

????????(2)求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E,F,使得PE?PF恒为

?????????(3)在（2）的条件下，若M,N是l:x?22上的两个动点，且EM?FN?0，试问当MN?????????????取最小值时，向量EM?FN与EF是否平行，并说明理由。

37.已知点B(0,t),点C(0,t?4)(其中0?t?4)，直线PB、PC都是圆

M:(x?1)2?y2?1的切线．

（Ⅰ）若?PBC面积等于6，求过点P的抛物线y?2px(p?0)的方程； （Ⅱ）若点P在y轴右边，求?PBC面积的最小值．

38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭

圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。

2x2y2??1的两个焦点， （1）设F1、F2是椭圆M:点F1、F2到直线L:2x?y?5?0259的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

x2y2（2）设F1、F2是椭圆M:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，点F1、F2到直线

abL:mx?ny?p?0（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，

试求d1·d2的值。

（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证

明）。 39.已知点F为抛物线C:y?4x的焦点，点P是准线l上的动点，直

y2线PF交抛物线C于A,B两点，若点P的纵坐标为m(m?0)，点D为准线l与x轴的交点．

（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求?DAB的面积S范围；

PADOFx????????????????（Ⅲ）设AF??FB，AP??PB，求证???为定值．

x2y2340.已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线

3abl:y?x?2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.

（I）求椭圆C1的方程；

lB （II）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直

线l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

???????????? （III）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QR?RS?0,求QS的

取值范围.

41.已知以向量v?(1,)为方向向量的直线l过点(0,)，抛物线C：y?2px(p?0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上． （1）求抛物线C的方程； （2）设A、B是抛物线C上的两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若OA?OB?p?0（O为坐标原点，A、B异于点O），试求点N的轨迹方程。

42.如图，设抛物线c1：y2?4mx（m?0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e?2125421的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P. 2（Ⅰ）当m?1时，求椭圆的方程及其右准线的方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2， 与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆， 试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）是否存在实数m，使得?PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

x2y2243.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个顶点与抛物线C:x?43y的焦点重合，

ab1F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e??且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交

2于M、N两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在直线l，使得OM?ON??2.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理

由.

|AB|2(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MN//AB，求证：为定值．

|MN|?244.设F是抛物线y?4mx(m?0)的焦点，过点M(－1，0)且以n???,1?为方向向量的直

线顺次交抛物线于A,B两点。

????????2?（Ⅰ）当??2时，若FA与FB的夹角为，求抛物线的方程；

????1?????????（Ⅱ）若点A,B满足FA?(FM?FB)，证明m?2为定值，并求此时△AFB的面积

245.已知点R(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满

3

足2PM??MQ?0,RP?PM?0.

（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设A(x1,y1)、B(x2,y2)为轨迹C上两点，且x1>1, y1>0,N(1,0)，求实数?，

使AB??AN，且AB?16. 3x2y246.已知椭圆C1:2?2?（1a?b?0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN

ab22是圆C2:x?(y?3)?1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3?2的直线l恰

好与圆C2相切。

（1）已知椭圆C1的离心率；

????????? （2）若PM?PN的最大值为49，求椭圆C1的方程.

x2y247.已知直线l与曲线C：??1交于A,B两点，AB的中点为M，若直线AB和

mnOM(O为坐标原点)的斜率都存在，则kAB?kOM??n. m这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”. （Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；

（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：

x2y2① 过点P(1,1)作直线l与椭圆??1交于A,B两点，求AB的中点M的轨迹W42的方程；

② 过点P(1,1)作直线l?与有心圆锥曲线C?:kx?y?1(k?0)交于E、F两点，是

否存在这样的直线l?使点P为线段EF的中点？若存在，求直线l?的方程；若不存

在，说明理由.

48.椭圆的中心为原点O，焦点在y轴上，离心率e?226，过P(0,1)的直线l与椭圆交于A、3????????B两点，且AP?2PB，求?AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．

49.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e =

2

，椭圆上的点到焦点的最短2

??????距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且AP ＝?PB．

学科网?????????（1）求椭圆方程； （2）若OA＋?OB ＝ 4OP，求m的取值范围．

2

学科网50.已知点A是抛物线y＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝2｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．

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