天津市蓟县二中2015届高考数学模拟试卷（文科）(4)

考点：数列与不等式的综合；数列与函数的综合． 专题：综合题；等差数列与等比数列．

分析：（1）首先根据条件得出Sn=3n﹣2n，然后利用an=sn﹣sn﹣1求出通项公式； （2）由（1）得出数列{bn}的通项公式，利用裂项法求和，即可求使得Tn都成立的最小值m．

解答： 解：（1）∵点（n，Sn）在函数f（x）=3x﹣2x的图象上

2

∴Sn=3n﹣2n，

当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=6n﹣5 当n=1时，也符合上式 ∴an=6n﹣5； （2）由（1）得故Tn=（1﹣+﹣因此，要使Tn

+…+

=

﹣

*

2

2

对所有的n∈N

*

）=（1﹣

）

）＜

（n∈N）成立的m，

*

对所有的n∈N都成立，只需使得（1﹣

必须且仅须满足m≥30，所以满足要求的最小值m为30．

点评：本题主要考查学生对数列的知识的处理，同时考查学生对式的运算能力和应变能力，考查裂项求和的方法，属于中档题．

21．已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R）

（1）若函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，且极小值为﹣2，求a，b的值．

（2）若x∈，函数f（x）在图象上任意一点的切线的斜率为k，求k≤1恒成立时a的取值范围．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：函数的性质及应用． 分析：（1）通过求函数的导数，函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，就是x=0，x=2时导数为0，求出a，利用极小值为﹣2，求出b；

（2）由（1）可得f（x）的解析式．x∈，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，k≤1恒成立，就是导函数的值域≤1恒成立，再用二次函数根与系数的关系，求实数a的取值范围．

32

解答： 解：（1）由f'（x）=3x+2ax得x=0或∴

得a=﹣3．…

2

当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时f'（x）＞0 故当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=8+4a+b=﹣2 所以b=2…

2

（2）当x∈，k=f'（x）=3x+2ax≤1恒成立，

2

即令g（x）=3x+2ax﹣1≤0对一切x∈恒成立，… 只需

即a≤﹣1

所以a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．…

点评：本题主要考查函数、导数的基本知识以及不等式的恒成立问题，同时考查学生的逻辑推理能力和灵活应用知识的能力．

22．设F1，F2分别为椭圆

两点的距离之和等于4．

（1）求出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）过点P（0，）的直线与椭圆交于两点M、N，若OM⊥ON，求直线MN的方程．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

的左、右两个焦点，若椭圆C上的点

分析：（1）利用椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，可求a，利用点椭圆上，可求b，从而求出椭圆C的方程和焦点坐标；

在

（2）设直线MN方程为y=kx+，代入椭圆C的方程，利用韦达定理即向量知识，建立方程，即可求得直线MN的方程． 解答： 解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，

又点在椭圆上，∴，∴b=3，∴c=1，

22

所以椭圆C的方程为

（2）直线MN不与x轴垂直，设直线MN方程为y=kx+， 代入椭圆C的方程得（3+4k）x+12kx﹣3=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣

，x1x2=﹣

2

2

．…

，且△＞0成立．

又

2

=x1x2+y1y2=x1x2+（ kx1+）（kx2+）=﹣

﹣+=0，

∴16k=5，k=±∴MN方程为y=±

， x+…

点评：本题考查解析几何的基本思想方法，要求学生能正确分析问题，寻找较好的解题方向，同时兼顾考查算理和逻辑的能力，数形结合能力．

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