an?1(1?an)1（3）当a≠〒1且a≠0时，an??(an?1?a2n?1)，
1?a1?a ?Sn?1[(1?a???an?1)?(a?a3??a2n?1)] 1?a11?ana(1?a2n)(1?an)(1?an?1) ?. [?]?221?a1?a1?a(1?a)(1?a)【例6】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0 (n＝1，2，3…)． (1)求q的取值范围；
3
(2)设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．
2
【思路点拨】(1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论．(2)能否判断{bn}为特殊数列进而求和作差、作商比较大小．
【解析】(1)≧{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0， 当q＝1时，Sn＝na1>0；
a1(1?qn)1?qn当q≠1时，Sn＝?0，即?0 (n＝1,2,3，…)，
1?q1?q上式等价于①??1?q?0?1?q?0n (n＝1,2,3，…)
或②??1?q?0?1?q?0n (n＝1,2,3，…)，
解①式得q>1；
解②式，由于n可为奇数、可为偶数，故－1 333an＋1，得bn＝an(q2?q)，Tn＝(q2?q)Sn， 2222于是Tn－Sn＝Sn(q?13q?1)＝Sn(q?)(q－2)． 22又因为Sn>0且－1 1或q>2时，Tn－Sn>0，即Tn>Sn； 21 11 【总结升华】本题以等比数列为载体，涉及了分类讨论和大小比较的问题，综合性较强，应用了不等式的解法和比较大小的基本方法——作差比较法．同时含有字母q，一般要进行分类讨论，要特别注意等比数列求和公式在应用时一定要分q＝1和q≠1讨论。 举一反三： 【变式2】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列. (Ⅰ)求q的值； (Ⅱ)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由. 【解析】 (Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q, ≧a1≠0，?2q2-q-1=0， ?q?1或q??1， 2n(n?1)n2?3n?1?. (Ⅱ)若q=1，则Sn?2n?22当n≥2时，Sn?bn?Sn?1?(n?1)(n?2)?0，故Sn?bn. 21n(n-1)1-n2?9n(-)?若q??，则Sn?2n? 2224当n≥2时，Sn?bn?Sn-1??(n?1)(n?10) 4故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn>bn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Sn 类型四、解析几何中的分类讨论问题 y2b22?1，点P（a,b）的坐标满足a??1，过点P的直线l与椭【例7】已知椭圆C的方程为x?222圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求： （1）点Q的轨迹方程. （2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数. 【思路点拨】本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识. 【解析】 （1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）. 当x1≠x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b 12 2y12y22由已知x??1，x2??1……① 2221y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b…② 由①得(x1+x2)(x1-x2)+ 1(y1+y2)(y1-y2)=0…③ 2由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b…④ 由③、④及x?x1?x2y?y2，k?1，得 2x1?x2点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0……⑤ 当x1=x2时，l平行于y轴， 因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0）， 显然Q点的坐标满足方程⑤. 综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0. 设方程⑤所表示的曲线为L， ?2x2?y2?2ax?by?0?2则由?，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0 y2?1?x??2b2b22 由于Δ=8b(a+-1)，由已知a+≤1 222 2 2b所以当a2+=1时，Δ=0， 2曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）. b2当a+<1时Δ<0，曲线L与椭圆无交点， 22 而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上， 所以曲线L在椭圆C内. 故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0. ?x?0?x?0?x?0(2)由?2，解得或?， ?2y?0y?b???2x?y?2ax?by?0又由??y?022?2x?y?2ax?by?0，解得??x?0?x?a或?， ?y?0?y?0则①当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点. 13 曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0) ②当a=0且0<|b|≤2时, 即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时, 点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0) ③当b=0且0<|a|≤1时， 即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时, 曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0). 2④当0<|a|<1且0<|b|<2(1?a)时, 即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时, 曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0). 总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错. 举一反三： 【变式】讨论k的取值，说明方程k2x2?(2k?1)y2?2x表示的曲线. 【解析】方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线，故需要对k值就以上情况分类讨论. 当k2=0即k=0时，方程化为y2??2x，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线. 当2k-1=0即k? 1 时，方程化为x(x-8)=0 2 ?x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0) 斜率不存在的两平行直线. 当k2=2k-1,即k=1时，方程化为(x?1)2?y2?1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆 1 ，k≠1时 21(x?2)2y2k方程可化为??1 121(2)k(2k?1)k2当k≠0，k?当k?111且k?1时，0?(2)2? 22k(2k?1)k1,0)的椭圆 2k方程表示焦点在平行y轴直线上，中心在( 14 当k?11且k?0时，方程表示以(2,0)为中心，焦点在x轴上的双曲线. 2k【总结升华】处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，分类讨论。 【例8】已知A(?2, 0)，B(2, 0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且?APB面积的最大值为23． （Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率； （Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明． 【思路点拨】（1）有待定系数法可求出椭圆方程。 （2）先设出直线AP的方程，根据题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径，再将AP的方程与椭圆方程联立，得到交点A、P的坐标关系，因为A点的坐标已知，从而求出点P的坐标，然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可． x2y2【解析】（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)， abF(c,0)． yPDEAOFBx1??2a?b?23,?2由题意知?解得b?3，c?1． a?2, ?2?a?b2?c2. 1x2y2??1，离心率为． 故椭圆C的方程为 243（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切． 证明如下：由题意可设直线AP的方程为y?k(x?2)(k?0). 则点D坐标为(2, 4k)，BD中点E的坐标为(2, 2k)． ?y?k(x?2),?2222由?x2y2得(3?4k)x?16kx?16k?12?0． ?1??3?416k2?12设点P的坐标为(x0,y0)，则?2x0?． 3?4k2 15 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高考冲刺之分类讨论的思想(3)在线全文阅读。
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