高考冲刺之分类讨论的思想

高考冲刺之分类讨论的思想

【高考风采】

数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。

分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由Sn求an等。 【知识升华】

1．分类讨论的常见情形

（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.

（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.

（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.

（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.

（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.

2.分类的原则

（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；

分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，

1

考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.

（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.

当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.

3.分类讨论的一般步骤

第一，明确讨论对象，确定对象的范围；

第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 第三，逐类讨论，获得阶段性结果； 第四，归纳总结，得出结论. 4. 分类讨论应注意的问题

第一，按主元分类的结果应求并集. 第二，按参数分类的结果要分类给出.

第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类. 【典型例题】

类型一、不等式中参数的讨论问题

【例1】解关于x的不等式：ax2?(a?1)x?1?0.

【思路点拨】依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数a是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于a?0与a?0时，先写简单好作的a?0.

【解析】

（1）当a?0时，原不等式化为一次不等式：?x?1?0，?x?1； （2）当a?0时，原不等式变为：a(x?1)(x?)?0，

1a1a11≧a?0，??1，?不等式解为x?或x?1，

aa1②若a?0，则原不等式化为(x?1)(x?)?0，

a1（ⅰ）当a?1时，?1，不等式解为x??，

a11（ⅱ）当a?1时，?1，不等式解为?x?1；

aa①若a?0，则原不等式化为(x?1)(x?)?0

2

（ⅲ）当0?a?1时，

11?1，不等式解为1?x?， aa1或x?1}； a1a综上所述，原不等式的解集为： 当a?0时，解集为{x|x?当a?0时，解集为{x|x＞1}； 当0?a?1时，解集为{x|1?x?}； 当a?1时，解集为?； 当a?1时，解集为{x|总结升华：

这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

举一反三：

【变式】解关于x的不等式:x2?a3?(a?a2)x（a?R）. 【解析】原不等式可分解因式为: (x?a)(x?a2)?0， （下面按两个根a与a的大小关系分类）

222（1）当a?a，即a?0或a?1时，不等式为x?0或(x?1)2?0，不等式的解集为：x??；

1?x?1}. a谁

（1）当a?a，即0?a?1时，不等式的解集为：x?(a2,a)； （2）当a?a，即a?0或a?1时，不等式的解集为：x?(a,a2)； 综上所述，原不等式的解集为： 当a?0或a?1时，x??； 当0?a?1时，x?(a,a)；

222当a?0或a?1时，x?(a,a).

2【例2】解不等式

(x?4a)(x?6a)1>0 (a为常数，a≠－)

22a?1【思路点拨】含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种

11情况a>0、a＝0、－

22 3

【解析】2a＋1>0时，a>－

1； －4a<6a时，a>0 。 2所以分以下四种情况讨论：

当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a； 当a＝0时，x>0，解得：x≠0；

210，解得: x<6a或x>－4a； 21当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a

2当－

1综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－－4a；当a>

2－

1时，6a

含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型

举一反三：

【变式】解关于x的不等式:ax?2ax?1?0(a?R).

2【解析】

（1）当a?0时，不等式为1?0, 解集为x?R；

2（2）当a?0时，需要对方程ax?2ax?1?0的根的情况进行讨论：

?a?0?a?0?a?0??2???a?1 ①???0a(a?1)?04a?4a?0???即a?1时，方程ax?2ax?1?0有两根

2x1,2a(a?1)?2a?4a2?4a?a?a2?a. ????1?2aaaa(a?1)a(a?1))?(?1?,??). aa则原不等式的解为(??,?1??a?0?a?0?a?0??2???0?a?1 ②???00?a?1??4a?4a?0?即0?a?1时，方程ax?2ax?1?0没有实根，

2此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为(??,??).

4

?a?0?a?0?a?0??2???a?1 ③???0a?0或a?14a?4a?0???即a?1时，方程ax?2ax?1?0有两相等实根为x1,2??1，

2则原不等式的解为(??,?1)?(?1,??). （3）当a?0时，??0恒成立， 即a?0时，方程ax?2ax?1?0有两根

2x1,2??2a?a(a?1)a(a?1). ??1?2aa此时，为开口向下的抛物线， 故原不等式的解集为(?1?a(a?1)a(a?1),?1?). aa综上所述，原不等式的解集为： 当a?0时，解集为(?1?a(a?1)a(a?1),?1?)； aa当0?a?1时，解集为(??,??)； 当a?1时，解集为(??,?1)?(?1,??) ；

a(a?1)a(a?1)当a?1时，解集为(??,?1?)?(?1?,??).

aa类型二、函数与方程中的分类讨论问题

x【例3】函数y?a?1(a?0,a?1)的图象可能是（ ） a

【思路点拨】对底数a分两种情况讨论，结合图像恒过的定点可解。 【答案】D；

【解析】当a?1时单调递增，?确；当0?a?1时单调递减，?11?0，故A不正确；因为y?ax?恒不过点(1,1)，所以B不正aa1?0，故C不正确 ；D正确. a 5

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