2014中考数学专题知识突破__专题四：探究型问题(含详细参考答案)(5)

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17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°， ∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA， ∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，∴∠FDG=∠EAF，

∵在△EAF和△GDF中，

??DF?AF??FDG??FAE， ??DG?AE∴△EAF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA， ∴∠GFE=90°， ∴GF⊥EF；

（2）GF⊥EF，GF=EF成立；

理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°， ∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°， ∴∠EAF+∠CDF=45°， ∵∠CDF+∠GDF=45°， ∴∠FDG=∠EAF，

∵在△EAF和△GDF中，

??DF?AF??FDG??FAE， ??DG?AE∴△EAF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA， ∴∠GFE=90°， ∴GF⊥EF．

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18．（2013?张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 18．（1）证明：如图， ∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=12，CF=5， ∴EF=122?52=13， ∴OC=1EF=6.5； 2（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 证明：当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 19．（2013?衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4． （1）试说明AE2+CF2的值是一个常数； （2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值． 青青学子 - 22 - 至德至纯

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19．解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC， ∴∠ABE=∠BCF， ∵在△ABE和△BCF中， ?AB?BC???ABE??BCF， ??AEB??BFC?∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE=BF， ∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数； （2）设AP=x，则PD=4-x， 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP， ∴△PDM∽△BAP， DMAP?， FDABDMx?， 即4?x4x(4?x)1?x?x2， ∴DM=44∴当x=2时，DM有最大值为1． 20．（2013?宁夏）在?ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°； （1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当△CPE≌△CPB时，?ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？ 20．解：（1）如图，延长PE交CD的延长线于F， 青青学子 - 23 - 至德至纯

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设AP=x，△CPE的面积为y， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=DC=6，AD=BC=8， ∵Rt△APE，∠A=60°， ∴∠PEA=30°， ∴AE=2x，PE=3x， 在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x， ∴DF=12DE=4-x， ∵AB∥CD，PF⊥AB， ∴PF⊥CD， ∴S1△CPE=2PE?CF， 即y=12×3x×（10-x）=-322x+53x， 配方得：y=-32532（x-5）2+2， 当x=5时，y有最大值2532， 即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是2532； （2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°， ∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°， ∵∠ADC=120°， ∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°， ∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形， 过D作DM⊥CE于M，则CM=12CE， 在Rt△CMD中，∠ECD=30°， ∴cos30°=CD3CM?2， 青青学子 - 24 - 至德至纯

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3CD， 2∴CM=∴CE=3CD， ∵BC=CE，AB=CD， ∴BC=3AB， 则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=3AB． 21．（2013?南平）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设 AB=k． BC（1）证明：△BGF是等腰三角形； （2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？ （3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立． 利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围． 21．解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F， ∴∠AFE=90° ∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点， ∴GF=1AE， 21AE， 2在Rt△ABE中，同理可得BG=∴GF=GB， ∴△BGF为等腰三角形； （2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60° ∵GF=GB=AG， ∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE ∴∠BGF=2∠BAC， ∴∠BAC=30°， ∴∠ACB=60°， ∴AB=tan∠ACB=3， BC青青学子 - 25 - 至德至纯

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