2014中考数学专题知识突破__专题四：探究型问题(含详细参考答案)(3)

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?AD?AD???ADM??BAE， ??BAD??ABE?∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP，

∴MD∥EP，MD=EP，

∴四边形DMEP为平行四边形． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．

对应训练 4．（2013?陕西）问题探究：

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决： （3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

4．解：（1）如图1所示，

（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，

则直线EF、OM将正方形的面积四等份，

理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心， ∴AP=CQ，EB=DF，

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在△AOP和△EOB中 ∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE， ∴∠AOP=∠BOE， ∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°， ∴△AOP≌△EOB， ∴AP=BE=DF=CQ， 设O到正方形ABCD一边的距离是d， 则1111（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d， 2222∴S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPFM， 直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份； （3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份， 理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠EDP， ∵在△ABP和△DEP中 ??A??EDP?， ?AP?DP??APB??DPE?∴△ABP≌△DEP（ASA）， ∴BP=EP， 连接CP， ∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等， 又∵BP=EP， ∴S△BPC=S△EPC， 作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE， 由三角形面积公式得：PF=PG， 在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP ∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP 即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ， ∵BC=AB+CD=a+b， ∴BQ=b， ∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分． 四、中考真题演练 一、选择题 1．（2013?永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5

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1．C 2．（2013?安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC

2．B 3．（2013?湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD

3．C

二、填空题 4．（2013?娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．

4．∠B=∠C或AE=AD 5．（2013?白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）

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5．AC=CD 6．（2013?上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）

6．AC=DF 7．（2013?黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 7．AD=DC 8．（2013?西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处． 第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1； 第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2； 第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3； 第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4； …

依此规律进行，点A6的坐标为 ；若点An的坐标为（2013，2012），则n= ． 8．（-2-3），4023 9．（2013?湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 ，A92的坐标是 ．

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9．（0，3），（31，-31）

10．（2013?绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 ．

10．12°

三、解答题 11．（2013?茂名）如图，在?ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F． （1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

11．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC．

又∵点F在CB的延长线上， ∴AD∥CF， ∴∠1=∠2．

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