高考数学快速提升成绩题型训练 - 三角函数(2)

20. 已知函数f(x)??3sin2x?sinxcosx

（I）求函数f(x)的最小正周期； （II）求函数f(x)在x??0,

???的值域. ??2???xx?33sin)，且x∈[0，]． 21. 已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(?cos，22222??（1）求a?b

????（2）设函数f(x)?a?b+a?b，求函数f(x)的最值及相应的x的值。

222. 已知函数f(x)?sin?x?3sin?xsin(?x??2)(??0)的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，

23. 在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且tanA?

2?]上的取值范围. 31310 ,cosB?210（1）求tanC的值; （2）若⊿ABC最长的边为1，求b。

24. 如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。

cosBb??2a?c。 25. 在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosC（1）求角B的大小；

（2）若b?13,a?c?4，求a的值。

答案：

1. 解析 法1以M为第一个零点，则A=3，

??2所求解析式为y?3sin(2x??)

?2?点M（,0)在图象上，由此求得???

332?) 3法2. 由题意A=3，??2，则y?3sin(2x??)

77(?? )?图像过点(?,3) ?3?3sin?12677?2?2??3?3sin(???)即?????2k?.?????2k?. 取???.

662332??所求解析式为 y?3sin(2x?)

3? 所求解析式为y?3sin(2x?

2. 解析（Ⅰ）?x??8是函数y?f(x)的图像的对称轴，?sin(2??8??)??1,

??4???k???2,k?Z. ??????0,???3?. 43?3?,因此y?sin(2x?). 44?3???2k??,k?Z. 由题意得 2k???2x?242（Ⅱ）由（Ⅰ）知???

3??5?)的单调增区间为[k??,k??],k?Z. 4883?)知 （Ⅲ）由y?sin(2x?4?3?5?7? x 0 ? 8888所以函数y?sin(2x?y ?2 2－1 0 1 0 ?2 2

故函数y?f(x)在区间[0,?]上图像是

3. 解析 （1）由题意得sinx-cosx＞0即2sin(x?从而得2k??x?

?4)?0，

?4?2k???，

（2k??∴函数的定义域为

∵0?sin(x??4，2k??5?k?Z， ）41)?1，故0＜sinx-cosx≤2，所有函数f(x)的值域是[?,??)。 423?5?k?Z ，2k??）（2）单调递增区间是[2k??44?3?k?Z， （2k??，2k??）单调递减区间是

44（3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。

（4）∵f(x?2?)?log1[sin(x?2?)?cos(x?2?)]?f(x)

2????24. 解析f(x)?a?b=3sin2?x?2cos?x?2sin(2?x?)?1，T=?，??1

6????f(x)?=2sin(2x?)?1，ymax?1，这时x的集合为?xx?k??,k?Z?

63???（2）?f(x)的图象向左平移，再向上平移1个单位可得y?2sin2x的图象，所

12

∴函数f(x)的最小正周期T=2π。

以向量c=(???12,1)。

5. 解析 由图象过两点得1=a+b，1=a+c，

?b?1?a,c?1?a,f(x)?a?(1?a)(sinx?cosx)?a?2(1?a)sin(x??0?x?32???,??sin(x?)?1

244424当a＜1时，1?f(x)?2?(1?2)a,要使|f(x)|?2，

,则?x?只须2?(1?2)a?2解得a??2 当a?1时,2?(1?2)a?f(x)?1

要使|f(x)|?2只须2?(1?2)a??2解得a?4?32， 故所求a的范围是?2?a?4?32

6. 解析 f(x)??4)

???1?2co2sx?12sin(?x)2??sinx?a2sinx(??4)

2cos2x????sinx?a2sin(x?)?sinx?cosx?a2sin(x?) 2cosx44????2sin(x?)?a2sin(x?)?(2?a2)sin(x?)

444?因为f(x)的最大值为2?3,sin(x?)的最大值为1，则2?a2?2?3,

4所以a??3

7. 解析 设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，y1）、B（1＋x，y2）

因为

(1?x)?(1?x)?1，f(1?x)?f(1?x)，所以y1?y2，

2由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，

若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．

?????12∵ a?b?(sinx，2)?(2sinx，)?2sinx?1?1，c?d?(cos2x，1)?(1，2)

2?cos2x?2?1，

?????∴ 当m?0时，f(a?b)?f(c?d)?f(2sin2x?1)?f(cos2x?1) ?2sin2x?1?cos2x?2?1?cos2x?1?cos2x?2?2cos2x?0

π3π?cos2x?0?2kπ??2x?2kπ?，k?Z．

22π3π?x?∵ 0?x?π， ∴ ． 44π3π?x?π． 当m?0时，同理可得0?x?或

44?????π3π}； 综上f(a?b)?f(c?d)的解集是当m?0时，为{x|?x?44

当m?0时，为{x|0?x?

8. 解析 方程sinx=

π3π?x?π}． ，或

44xx实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数 100?100?x∵|sinx|≤1∴||≤1, |x|≤100л

100?

当x≥0时，如右图，此时两线共有 100个交点，因y=sinx与y=

100л x都是奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，100?原点是重复计数的所以只有199个交点。

9. 解析 （1）当x?[??,2?]时，

63??函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,????)，观察图象易得：

22A?1,??1,???，即函数f(x)?sin(x??)，由函数y?f(x)的图象关于直线

33x???对称得，x?[??,?]时，函数f(x)??sinx.

66?sin(x??)x?[??,2?]?363∴f(x)??.

???sinxx?[??,?)6? （2）当x?[??,2?]时，

632得，x????或3??x???或x?5?；

由sin(x??)?3234412122得，x??3?或x???.

当x?[??,??]时，由?sinx?44262的解集为{?3?,??,??,5?}

∴方程f(x)?4412122

10. 解析 （1）由题意可得： T?6?， A?2， ?f(x)?2sin(x??)，

， ?sin???函数图像过（0，1）

?131??， ???，??? ，

622x??f(x)?2sin(?)；

36（2）g(x)?2sin(x?

11. 解析 (1)f(x)?1sin2x?3(1?cos2x)?1sin2x?3cos2x?3?sin(2x??)?3

232323232332由sin(?6)

2x?2x?3k?1?)=0即??k?(k?z)得x??33332

k?z

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