数值分析习题(含答案)(8)

数值分析习题参考解答 江世宏编

0??0???(k)?1x(k?1)??x?b ??2??02????2?1??I?BG?仍然是当????20??2?12??(??2?2)

时，?(BG)?2?2?1，使高斯-塞德尔迭代收敛。

7设A???21??1?， b?????12??2?(1) 设x(k)是由雅可比迭代求解方程组Ax?b所产生的迭代向量，且x(0)?(1,1)T，试写出计算x(k)的精确表达式。

(2) 设x*是Ax?b的精确解，写出误差x(k)?x*?的精确表达式。

(3) 如构造如下的迭代公式x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)解方程组Ax?b，试确定?的范围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断）

1??1?1?x????12?解：原线性方程组等价于??????2?，其雅可比迭代为 1??1??x2???1??2?1??0??1????1?(k)(k?1)(0)2??x???2,x???(k?1,2,?) ?x1?1??1?0??????2?将上述迭代式记作x(k)?Bx(k?1)?f，从而

x(k)?x*?B(x(k?1)?x*)???Bk(x(0)?x*)

而x*???，x(0)?x*?????????，若记J???0??1??1??0??1??1?122?1??0?3?01?23J?IJ?J，… ，则，??10?4于是B?(?)J，B?(?)I，B?(?)J，B?(?)I，B?(?)J，… 当k为偶数时，x(k)1221231245125?x*?1?1??(?)k??2?0???1 k21?0??(?)k??2?1???当k为奇数时，x(k)?x*?1?01??1??(?)k???2?10???0?36

?1 2k

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总之，x(k)?x*??1。 2k??2?1?21?的特征多项式为故其特征值为1，3。 A???I?A??(??1)(??3)，??1??2?12?对于迭代

x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)?(I??A)x(k)??b

其迭代矩阵为I??A，其特征值为1??，1?3?。当?该迭代收敛。

2???0时，?(I??A)?1，3?x1?2x2?2x3?1?8对于给定的线性方程组?x1?x2?x3?2

?2x?2x?x?323?1（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

（2）对收敛的方法，取初值x(0)?(1,0,0)T，迭代两次，求出x(1),x(2),x(3)。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较）

?12?2??1???，b??2?

1解：A?11??????1??22??3??雅可比迭代式为：

x(k?1)2??0?2?1??1??x(k)??2?，取x(0)??0?

???10?1?????????0???2?2??3???0??计算迭代阵的特征值

?222?21??3

?I?B?1??故?(B)?0?1，雅可比迭代收敛。 高斯-塞德尔迭代式

?100??0?22??100??0?22??0?22???00?1????110??00?1???02?3?

B?(D?L)?1U??110????????????221????000????0?21????000????002???100??1??1???2???1?

f?(D?L)?1b???110????????0?21????3?????1??

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?1数值分析习题参考解答 江世宏编

x(k?1)2??0?2?1??1??x(k)??1?，取x(0)??0?

??02?3?????????02??0???1???0??计算迭代阵的特征值

?020?23??(??2)

??2?I?B?0??2故?(B)?2?1，高斯-塞德尔迭代发散。 对于雅可比迭代，取x(0)?(1,0,0)T，可得

x(1)?(1,1,1)T，x(2)?(1,0,?1)T，x(3)?(?1,2,1)T

进一步的计算可知，x*?(?1,2,1)T。 9 证明对称矩阵

?1????

A???1???????1??当?111???1为正定矩阵，且只有当????时，用雅可比迭代法求解方程组Ax?b222才收敛。（雅可比迭代法的收敛性） 解：矩阵A的各级顺序主子式分别为

A1?1，A2?1??2，A3?(1??)(1?2?)

当?1???1时，上述各级顺序主子式均大于零，故A正定。 2其雅可比迭代式为

x(k?1)?0???????????0?????(k)????x?b?0??

其迭代矩阵的特征多项式为

????I?B?????(??2?)(???)???迭代矩阵的特征值为?2?和?。当?

11???时，?(B)?1，雅可比迭代收敛。22 38

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第八章 线性方程组的直接解法

姓名 学号 班级

习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。

?1用高斯消去法解方程组?234??119??x1??0???x???2?(高斯消去法的应用)

2?6???2???。

??1???x3????1????00???10解：用L?111???10?0??，L010???104??1，L?017?，L??0?2??2????1??201???3???4??011???001????0??乘方程组两边（采用高斯消去法），有

??200??0?10?????x1??x???150??2???23? ??002?1????x3????3??解得：x1?75，x2??46，x3??3。

?2x1?x2?x3?02用LU分解法求解线性方程组??x1?x2?x3?3。（LU分解法的应用）

??x1?x2?2x3?1解：原线性方程组的系数矩阵，右端列向量分别为

?211??0A???111??，b??3?

????112???1?????100??211?A?LU，其中，L???1/210?，U?????01/21/2?

?1/211????001????解Ly?b，可得：y??0???3??3?，解Ux?y，可得：x??8?。

?????2??????2???3设A??2?11??4?12?，求A的LU分解。（LU分解法的应用） ?2?23???? 39

60?10?依次左

01???数值分析习题参考解答 江世宏编

00??1?2?11?? ??，U??01010解：L?2???????002???1?11???310???1?????4试用“追赶法”解方程组Ax?b，其中：A?241，b?7（追赶法的应用） ???????025???9??解：追的过程：

11?x2 33233?x3 代入第2个方程，解出x2?1010由第1个方程，有x1??再代入第3个方程，解出x3?1。 赶的过程： 将x3?1代入x2?23311?x3，得到x2?2。再将x2?2代入x1???x2，得x1??1。 101033?x1??1?故原线性方程组的解为?x2?2。

?x?1?3?12???5设A?1?1，求cond(A)2（条件数的计算） ???1??1?2??1111???1?1???32? T?解：B?AA??????26??2?11??1??1????I?B???3?2?2?(??2)(??7) ??62B的特征值分别为2，7，故A从而A?12??max(B)?7。

??max(B?1)??117，故cond(A)2?。 221（范数的性质） A6求证：I?1，A?证明：设A和I为n阶方阵，对于任意给定n维向量x?0，有

x?I?x?I?x

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