数值分析习题(含答案)(5)

数值分析习题参考解答 江世宏编

解：迭代函数?(x)?1?2sinx 3??(x)??cosx?232，当x?(??,?) 3故迭代在区间(??,?)上整体收敛。

2sinx*，且

n??312225?0??1??x*?1?sinx*?1???

3333322**故 ??(x)??cosx?0

3设limxn?x，则x?1?**故该迭代的收敛速度为1阶的。

6 方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：

(1) x?1?11，对应迭代格式： x?1?n?122xxn232(2) x?1?x，对应迭代格式：xn?1?31?xn

(3) x?21，对应迭代格式：xn?1?x?11 xn?1讨论这些迭代格式在x0?1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出x0?1.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较） 解：f(x)?x3?x2?1，x?[1,3] 2f(1)??1?0，f()?，

31[1,]上有根x*。 ，故方程在?02853539*f()???0，故方程在[,]上有根x。

4246411311149*f()???0，故方程在[,]上有根x。

82851232对于迭代式（1）：?(x)?1?而?(x)??*122831024*???(x)??，， ?(x)???2?()??1

x2x3111331x*32?0，故该迭代局部收敛，且收敛速度为1阶的。 x*321/3对于迭代式（2）：在x?[1,2]上，?(x)?(1?x)，??(x)?2x

3(1?x2)2/3332x2342x**??(x)??x??1，又??(x)??0，故该迭代在2/322/3*3(2x)333(1?x) 21

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x?[1,2]上整体收敛，且收敛速度为一阶的。

对于迭代式（3）：?(x)?21在[1，2]上的值域为[1,??)，该迭代式不收敛。 x?1取迭代式xn?1?31?xn，x0?1.5进行计算，其结果如下：

x1?1.4812，x2?1.4727，x3?1.4688，x4?1.4670

x5?1.4662，x6?1.4659，x7?1.4657，x8?1.4656

x8?x7?0.0001?1?101?4，取x8?1.4656为近似值具有4位有效数字。 27设 f(x)?(x3?a)2

(1) 写出解 f(x)?0的牛顿迭代格式；

(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度） 解：牛顿迭代式为 xn?1?5axn?2， 66xn5a5a1x?2，??(x)??3，??(3a)??0 663x26x11因??(3a)??1，故迭代局部收敛。又因??(3a)??0，故迭代收敛速度为1阶。

22*方程的根为x?3a，?(x)?8 设计一个计算

1a的牛顿迭代法，且不用除法（其中a?0）。（牛顿迭代法）

解：考虑方程f(x)?2 xn?1?2xn?axna?11a?1/x?0，f?(x)?2，?(x)?x??2x?ax2 2xx1/x而??(1a)?2?2a?1a?0，该迭代局部收敛。

9 用牛顿法求115的近似值，取x0?10或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）

x2?1151115?(x?) 解：考虑方程f(x)?x?115?0，f?(x)?2x，?(x)?x?2x2x2 22

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xn?1?1115(xn?) 2xn取x0?10为初始值，计算其迭代值如下：

x1?10.7500，x2?10.7238，x3?10.7238

取

x0?11为初始值，计算其迭代值如下：

x1?10.7272，x2?10.7238，x3?10.7238

10设x是非线性方程f(x)?0的m重根，试证明：迭代法

*xn?1?xn?mf(xn)

f'(xn)具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明） 解：设x是非线性方程f(x)?0的m重根，则

*f(x)?(x?x*)mg(x)，且g(x*)?0及m?2，其牛顿迭代函数为

f(x)(x?x*)mg(x)m(x?x*)g(x)?(x)?x?m?x?m?x?*m?1*mf'(x)m(x?x)g(x)?(x?x)g?(x)mg(x)?(x?x*)g?(x)牛顿迭代式xn?1m(xn?x*)g(xn) ?xn?mg(xn)?(xn?x*)g?(xn)**en?1m(xn?x*)g(xn)?xn?1?x??(xn)?x?(xn?x)?mg(xn)?(xn?x*)g?(xn)*(xn?x*)2g?(xn)g?(xn)2 ??en**??mg(xn)?(xn?x)g(xn)mg(xn)?(xn?x)g(xn)en?1g?(xn)g?(x*) lim2?lim?*n??en??mg(x)?(x?x*)g?(x)mg(x)nnnn故该迭代的收敛速度至少是2阶的。

11设x是非线性方程f(x)?0的m重根，证明：用牛顿迭代法求x只是线性收敛。（收敛速度证明）

解：设x是非线性方程f(x)?0的m重根，则

***f(x)?(x?x*)mg(x)，且g(x*)?0及m?2，其牛顿迭代函数为

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f(x)(x?x*)mg(x)(x?x*)g(x)?(x)?x??x??x?*m?1*mf'(x)m(x?x)g(x)?(x?x)g?(x)mg(x)?(x?x*)g?(x)牛顿迭代式xn?1(xn?x*)g(xn) ?xn?*?mg(xn)?(xn?x)g(xn)g(xn)]en *mg(xn)?(xn?x)g?(xn)en?1?xn?1?x*??(xn)?x*?[1?en?1g(xn)g(x*)1lim?lim[1?]?1??1??0 **n??en??mmg(xn)?(xn?x)g?(xn)mg(x)n故收敛速度为1阶的。

12设?(a)?a，?(x)在a附近有直到p阶的连续导数，且?'(a)??????(p?1)(a)?0，

?(p)(a)?0，试证：迭代法xn?1??(xn)在a附近是p阶收敛的。 （收敛速度证明）

解：将?(x)在a点附近作泰勒展式，有

?(x)??(a)???(a)1!(x?a)????(a)2!(x?a)???2?(p?1)(a)(p?1)!(x?a)p?1??(p)(?)p!(x?a)p

?a?于是：

?(p)(?)p!(x?a)p，其中，?在x与a之间。

en?1?xn?1?a??(xn)?a??(p)(?n)p!(xn?a)?p?(p)(?n)p1 enp，其中，?n在xn与a之间。

由于limxn?a，故lim?n?a，从而

n??n??en?1?(p)(?)?(p)(a)。 limp?lim?n??en??p!p!n因此，迭代的收敛速度为p。

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第六章 常微分方程数值解

姓名 学号 班级

习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。

1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程

2x???y?y?y??y(0)?1?x?[0,1]

的数值解（取步长h?0.2），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用）

dzy2?2z??2x 解：原方程可转化为 yy??y?2x，令z?，有dx22解此一阶线性微分方程，可得 y?利用以下公式

2x?1。

2xi?y?y?0.2?(y?)ii?pyi??2xi)(i?0,1,2,3,4)?yc?yi?0.2?(yp? yp??1?yi?1?(yp?yc)2?求在节点xi?0.2?i(i?1,2,3,4,5)处的数值解yi，其中，初值为x0?0,y0?1。

MATLAB程序如下：

x(1)=0;%初值节点 y(1)=1;%初值

fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\\n',1,x(1),1,y(1),1,y(1)); for i=1:5

yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*x(i)/y(i));%预报值 yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值 y(i+1)=(yp+yc)/2;%改进值 x(i+1)=x(i)+0.2;%节点值

yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精确解

fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\\n',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1)); end

程序运行的结果如下：

x(1)=0.000000, y(1)=1.000000, yy(1)=1.000000 x(2)=0.200000, y(2)=1.220000, yy(2)=1.183216 x(3)=0.400000, y(3)=1.420452, yy(3)=1.341641 x(4)=0.600000, y(4)=1.615113, yy(4)=1.483240 x(5)=0.800000, y(5)=1.814224, yy(5)=1.612452 x(6)=1.000000, y(6)=2.027550, yy(6)=1.732051

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