数值分析习题(含答案)(2)

数值分析习题参考解答 江世宏编

7 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求f[x0,x1?xp]之值，其中p?n?1，而节点

xi(i?0,1,?n?1)互异。（均差的计算）

解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有

f[x0,x1?xp]??i?0pf(xi)

(xi?x0)(xi?x1)?(xi?xi?1)(xi?xi?1)?(xi?xp?1)(xi?xp)而f(xi)?0 0?i?p，故f[x0,x1?xp]?0。 8 如下函数值表

x f(x) 0 1 1 9 2 23 4 3 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 解：

先构造均差表 x 0 1 2 4 f(x) 1 9 23 3 一阶均差 8 14 -10 二阶均差 3 -8 三阶均差 -11/4 故 N(x)?1?8x?3x(x?1)?11x(x?1)(x?2)。 49求一个次数小于等于三次多项式p(x)，满足如下插值条件：p(1)?2，p(2)?4，

p?(2)?3，p(3)?12。（插值多项式的构造）

解法一（待定系数法）：设p(x)?ax3?bx2?cx?d，则

p?(x)?3ax2?2bx?c，由插值条件，有

?a?b?c?d?2?8a?4b?2c?d?4? ??12a?4b?c?3??27a?9b?3c?d?12解得：a?2,b??9,c?15,d??6。 故 p(x)?2x3?9x2?15x?6

解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表

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x 1 2 2 3 y 2 4 4 12 一阶差商 2 3 8 二阶差商 1 5 三阶差商 2 故 p(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?2)?2(x?1)(x?2)2?2x3?9x2?15x?6 10 构造一个三次多项式H(x)，使它满足条件H(0)?1,H(1)?0,H(2)?1,H?(1)?1（埃尔米特插值）。

解：设H(x)?ax3?bx2?cx?d，H?(x)?3ax2?2bx?c 利用插值条件，有

?d?1?a?b?c?d?0? ??8a?4b?2c?d?1??3a?2b?c?1解得：a??1,b?4,c??4,d?1。

H(x)??x3?4x2?4x?1

11 设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三次埃尔米特插值多项式H(x)，使得H(xj)?f(xj),j?0,1,2,H?(x1)?f?(x1)，H(x)以升幂形式给出。(2)写出余项R(x)?f(x)?H(x)的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。

321192733解：f()?，f(1)?1，f()?，f?(x)?x2，f?(1)?

484822设H(x)?ax?bx?cx?d，H?(x)?3ax?2bx?c

3221111?1a?b?c?d??641648?a?b?c?d?1???72981927 ?64a?16b?4c?d?8??3a?2b?c?3?2?解得：a??142632331，b?，c?，d??。 225450450257

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故 H(x)??14326322331x?x?x?。 225450450255193?219R(x)??(x?)(x?1)2(x?)，其中，???。

441284412 若f(x)?c2[a,b],f(a)?f(b)?0，试证明：

max|f (x)|?a?x?b1?b?a?2max|f?? (x)|（插值余项的应用）

a?x?b8解：以f(a)?f(b)?0为插值条件，作线性插值多项式，有

L(x)?其余项为

x?bx?a?f(a)??f(b)?0 a?bb?af??(?)(x?a)(x?b) 2!1a?ba?b1?a)(b?)?(b?a)2maxf??(x)。 故 maxf(x)?maxf??(x)?(a?x?ba?x?b2a?x?b228R(x)?f(x)?L(x)?f(x)?13 设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2)； 又设 |f???(x)|?M ，则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。（插值误差的估计） 解：由插值条件，有

?4a?2b?c??1? ?c?1?4a?2b?c?2??a??1/8?解得：?b?3/4

?c?1?从而 p(x)??其余项为

123x?x?1 84f???(?)(x?2)x(x?2)??(?2,2) 3!r(x)?f(x)?p(x)?r(x)?M3M1683(x?4x)?3?M 66927 8

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第三章 函数逼近

姓名 学号 班级

习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1 设f(x)?sin?x，求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：??span{1,x}

11(?1,?1)??dx?1，(?1,?2)??xdx?，(?2,?2)??x2dx?

320001111(f,?1)??sin?xdx?021?，(f,?2)??xsin?xdx??0x?cos?x?11?2sin?x?01?

法方程组为

1??2?2??a1?????

??1?1??a??2???3????2解得：a1?，a2?0

???1?1??2线性最佳平方逼近多项式为：??*2?。

x2 令f(x)?e,?1?x?1，且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于[?1,1]

上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：??span{1,x}

2(?1,?1)??dx?2，(?1,?2)??xdx?0，(?2,?2)??x2dx?

3?1?1?11x?11111(f,?1)??edx?e?e，(f,?2)??xexdx?2e?1

?1?1法方程组为

?20??a1??e?e?1?2??????1? ?0a?3????2??2e?1e?1?1解得：a1?(e?e)，a2?

23e?e?1e?1?x。 线性最佳平方逼近多项式为：p(x)?23

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3证明：切比雪夫多项式序列

Tk(x)?cos(karccosx)

在区间??1,1?上带权?(x)?1/1?x2正交。（正交多项式的证明） 解：对于l?k，有

1(Tl,Tk)??10?11?x2cos(larccosx)cos(karccosx)dx

?2????11?costcos(lt)cos(kt)(?sint)dt??cos(lt)cos(kt)dt

01??[cos(l?k)t?cos(l?k)t]dt 20111?[sin(l?k)t?sin(l?k)t]?0?0 2l?kl?k对于l?k，有

1(Tk,Tk)??10??11?x21cos2(karccosx)dx

????1?cos2tcos(kt)(?sint)dt??cos2(kt)dt

02111? ??[1?cos(2k)t]dt?[t?sin(2k)t]??02022k2故，序列{Tk(x)}在[-1，1]上带权?(x)?11?x2正交。

?x1?x2?3?4求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。（最小二乘法）

?x?x?22?1解法一：求x1与x2，使得

f(x1,x2)?(x1?x2?3)2?(x1?2x2?4)2?(x1?x2?2)2

达到最小。于是，令

?f?2(x1?x2?3)?2(x1?2x2?4)?2(x1?x2?2)?0 ?x1 10

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