数值分析习题(含答案)(6)

数值分析习题参考解答 江世宏编

2用四阶龙格－库塔法求解初值问题??y??y?1，取h?0.2, 求x?0.2,0.4时的数值解.

?y(0)?0要求写出由h,xn,yn直接计算yn?1的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用）

解：四阶龙格-库塔经典公式为

hyn?1?yn?(k1?2k2?2k3?k4)

6k1?f(xn,yn)

11k2?f(xn?h,yn?hk1)

2211k3?f(xn?h,yn?hk2)

22k4?f(xn?h,yn?hk3)

由于f(x,y)?1?y，在各点的斜率预报值分别为：

k1?1?yn

k2?1?(yn?hhhk1)?1?yn?(1?yn)?(1?yn)(1?) 222hhhhhk3?1?(yn?k2)?1?yn?(1?yn)(1?)?(1?yn)[1?(1?)]

22222hhhhk4?1?(yn?hk3)?1?yn?h(1?yn)[1?(1?)]?(1?yn)[1?h(1?(1?))]

2222四阶经典公式可改写成以下直接的形式：

yn?1hh32?yn?(1?yn)(6?3h?h?)

64在x?x1?0.2处，有

0.2(0.2)32y1?0?(1?0)(6?3?0.2?(0.2)?)?0.1813

64在x?x2?0.4处，有

0.2(0.2)32y2?0.1813?(1?0.1813)(6?3?0.2?(0.2)?)?0.3297

64注：这两个近似值与精确解y?1?e3 用梯形方法解初值问题

?x在这两点的精确值十分接近。

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?y??y?0 ??y(0)?1证明其近似解为

n?2?h?yn???

?2?h?并证明当h?0时，它收敛于原初值问题的准确解y?e?x。 解：显然，y?e?x是原初值问题的准确解。 求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为

hyn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]

2对于该初值问题，其梯形公式的具体形式为

yn?1?yn?于是：

hhh2?h(?yn?yn?1)，(1?)yn?1?(1?)yn，yn?1?()yn 2222?h)yn?12?h?2?h??2?h??()yn??y????n?1??2?h)?2?h??2?h?n2n?1?2?h?y0????2?h?n?1

?2?h?亦即：yn???

2?h??注意到：xn?0?nh?nh，n?xnhxnxn?t2xn2h111，令t??，???有

2?hht2h2h??yn??1???2?h??(1?t)?xnt??(1?t)?xn2?xnt(1?t)?xn2

从而 limyn?lim(1?t)h?0t?0?lim(1?t)t?0?e?xn

?xn即：当h?0时，yn收敛于原初值问题的准确解y(xn)?e。

?y???10y4对于初值问题?，证明当h?0.2时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公

?y(0)?1式的稳定性讨论）

证明：显式的欧拉公式为yn?1?yn?hf(xn,yn)?(1?10h)yn

从而en?1?(1?10h)en，由于0?h?0.2，?1?1?10h?1，en?1?en

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因此，显式欧拉公式绝对稳定。

隐式的欧拉公式为yn?1?yn?hf(xn?1,yn?1)?yn?10hyn?1

yn?1?ynen，en?1?

1?10h1?10h1?1，en?1?en

1?10h由于0?h，0?因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。 5证明：梯形公式yn?1?yn?性讨论）

解：对于微分方程初值问题

h[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]无条件稳定。（梯形公式的稳定2?y?????y(??0) ??y(0)?1其隐式的梯形公式的具体形式可表示为

h?h?h2??hyn?1?yn?[??yn??yn?1]，(1?)yn?1?(1?)yn，yn?1?()yn

2222??h2??h)en 从而en?1?(2??h2??h)?en?en，故隐式的梯形公式无条件稳定。 由h?0，??0可知，en?1?(2??h?y??f(x,y)6设有常微分方程的初值问题?，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算

y(x)?y00?公式yn?1??(yn?yn?1)?h(?0fn??1fn?1)，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算）

解：假设yn?y(xn)，yn?1?y(xn?1)，利用泰勒展式，有

yn?1?y(xn?1)?y(xn)?y?(xn)h?y??(xn)2y???(xn)3h?h?? 26fn?f(xn,yn)?f(xn,y(xn))?y?(xn)

fn?1?f(xn?1,yn?1)?f(xn?1,y(xn?1))?y?(xn?1)?y?(xn)?y??(xn)h?y???(xn)2h?? 2)y???(xn)h3??

yn?1?2?y(xn)?(?0??1??)y?(xn)h?(?2??1)y??(xn)h2?(?6??12 28

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又 y(xn?1)?y(xn)?y?(xn)h?11y??(xn)h2?y???(xn)h3?? 26欲使其具有尽可能高的局部截断误差，必须

2171从而 ??，?0?，?1??

442171于是数值计算公式为 yn?1?(yn?yn?1)?h(fn?fn?1)。

244该数值计算公式的局部截断误差的主项为

2??1，?0??1???1，

???1?1 21??5y(xn?1)?yn?1?(??1)y???(xn)h3???y???(xn)h3??

662247已知初值问题

?y??2x? ?y(0)?0?y(0.1)?0.01?取步长h?0.1，利用阿当姆斯公式yn?1?yn?h(3fn?fn?1)，求此微分方程在[0，10]2上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用） 解：假设yn?y(xn)，yn?1?y(xn?1)，利用泰勒展开，有

yn?y(xn)，fn?y?(xn)，fn?1?y?(xn?1)?y?(xn)?y??(xn)h?y???(xn)312??y(xn)h?h?? 24y???(xn)2h?? 2yn?1?y(xn)?y?(xn)h?11y??(xn)h2?y???(xn)h3?? 26115y(xn?1)?yn?1?(?)y???(xn)h3???y???(xn)h3??

64125y???(xn)h3。 该阿当姆斯两步公式具有2阶精度，其局部截断误差的主项为12取步长h?0.1，节点xn?0.1n（n?0,1,2,?,100），注意到f(x,y)?2x，其计算公

而y(xn?1)?y(xn)?y?(xn)h?式可改写为

0.1?(6xn?2xn?1)?yn?0.02n?0.01 2仅需取一个初值y0?0，可实现这一公式的实际计算。

yn?1?yn?其MATLAB下的程序如下： x0=0;%初值节点 y0=0;%初值

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for n=0:99

y1=y0+0.02*n+0.01; x1=x0+0.1;

fprintf('x(=)=.8f,y(=)=.8f\\n',n+1,x1,n+1,y1); x0=x1; y0=y1; end

运行结果如下：

x( 1)=0.10000000,y( 1)=0.01000000 x( 2)=0.20000000,y( 2)=0.04000000 x( 3)=0.30000000,y( 3)=0.09000000 x( 4)=0.40000000,y( 4)=0.16000000 x( 5)=0.50000000,y( 5)=0.25000000 x( 6)=0.60000000,y( 6)=0.36000000 x( 7)=0.70000000,y( 7)=0.49000000 x( 8)=0.80000000,y( 8)=0.64000000 x( 9)=0.90000000,y( 9)=0.81000000 x( 10)=1.00000000,y( 10)=1.00000000 x( 11)=1.10000000,y( 11)=1.21000000 x( 12)=1.20000000,y( 12)=1.44000000 x( 13)=1.30000000,y( 13)=1.69000000 x( 14)=1.40000000,y( 14)=1.96000000 x( 15)=1.50000000,y( 15)=2.25000000 x( 16)=1.60000000,y( 16)=2.56000000 x( 17)=1.70000000,y( 17)=2.89000000 x( 18)=1.80000000,y( 18)=3.24000000 x( 19)=1.90000000,y( 19)=3.61000000 x( 20)=2.00000000,y( 20)=4.00000000 x( 21)=2.10000000,y( 21)=4.41000000 x( 22)=2.20000000,y( 22)=4.84000000 x( 23)=2.30000000,y( 23)=5.29000000 x( 24)=2.40000000,y( 24)=5.76000000 x( 25)=2.50000000,y( 25)=6.25000000 x( 26)=2.60000000,y( 26)=6.76000000 x( 27)=2.70000000,y( 27)=7.29000000 x( 28)=2.80000000,y( 28)=7.84000000 x( 29)=2.90000000,y( 29)=8.41000000 x( 30)=3.00000000,y( 30)=9.00000000 x( 31)=3.10000000,y( 31)=9.61000000 x( 32)=3.20000000,y( 32)=10.24000000 x( 33)=3.30000000,y( 33)=10.89000000 x( 34)=3.40000000,y( 34)=11.56000000 x( 35)=3.50000000,y( 35)=12.25000000 x( 36)=3.60000000,y( 36)=12.96000000 x( 37)=3.70000000,y( 37)=13.69000000 x( 38)=3.80000000,y( 38)=14.44000000 x( 39)=3.90000000,y( 39)=15.21000000 x( 40)=4.00000000,y( 40)=16.00000000 x( 41)=4.10000000,y( 41)=16.81000000 x( 42)=4.20000000,y( 42)=17.64000000 x( 43)=4.30000000,y( 43)=18.49000000 x( 44)=4.40000000,y( 44)=19.36000000 x( 45)=4.50000000,y( 45)=20.25000000 x( 46)=4.60000000,y( 46)=21.16000000 x( 47)=4.70000000,y( 47)=22.09000000

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