线段的定比分点公式的应用（精品绝对好）(3)

1?x2例14.已知二次函数f(x)满足条件：(1) f(-1)=0；(2)对一切x?R，都有x?f(x)?成立，

2求f(x)的解析式。

本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐，有些学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单：

PP1?x21?x2解：由x?R,x?f(x)?,可设数轴上的点P1(x,0)、P(f(x),0)，P2(，0),且1??， 则

PP2221?11?x2?1??()x??()11122f(x)=，因为f(－1)=0 ,所以?0,解得 ?＝1， 所以f(x)?x2?x? 。 4241??1??

三、定比分点公式的类比推理

从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题，具有很明显的相似之处。

1．平面几何中的定比分点：

命题1：设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2 若平行于底边的截线EF把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为?（??-1），则EF的长l=

l1??l2(?≥0)。 1??特别地，（1）当l1=l2时，条件为一平行四边形，结论仍成立；

（2）当l1=0时，条件为一三角形，结论仍成立； （3）当?＝1时，即可得到梯形的中位线公式。

证明：设BA的延长线与CD的延长线交于O，由三角形相似可得

l1AO????ABl?AO?1????AOl?1??AO?ABl2(1)

(2)由（1）（2）可得l?l1??l2。 1??依照命题1的推导方法，不难证明出以下命题：

命题1’：设梯形ABCD的上，下底边长分别为l1,l2，若平行于底边的截线EF把梯形的面积分成上

2l12??l2下两部分之比为?，则有EF?l?（特别当l1=0梯形退化为一个三角形时，结论为

1??22第 11 页 共 18 页

?l22仍成立。） l=

1??22、立体几何中的定比分点：

命题2 ：设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为?，则有： S0＝2S0?S1?S2。

S1??S21??。特别地，当?＝1时，

证明：将棱台补成棱锥，设所补的小棱锥的高为x，截面到上、下底面的距离分别为?h和h，则由截面性质定理可得：

S1S0?S2?h?h?xS?S1x?h,??从而有：0 ????(1) ?h?xS0?h?x?h?xS0?h????(2), 由(1) ? (2)得?h?xS2?S0S0Ｓ－Ｓ０１Ｓ－Ｓ２０ ＝?．＝即：Ｓ０Ｓ＋?Ｓ１２１＋?．

依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式：

命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为?，则有(S0)?2(S1)2??(S2)21??

命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S1、S2，平行于底面的面积为S0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为?，则有(S0)?3(S1)3??(S2)31??

注：以上三个公式，对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式，形式整齐，结构对称，富有美感，便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时，有着广泛的应用。 3．数列中的定比分点：

命题3：设?an?是等差数列，其中ap、am、an，满足??ap??anp?m(???1)。 ,则am?1??m?n证明：ap=a1+(p-1)d ， am=a1+(m-1)d ， an=a1+(n-1)d

（其中a1、d分别是等差数列?an?的首项与公差）

ap??anp?m将ap、am、an 代入 ?? 中可得 am?

1??m?n第 12 页 共 18 页

命题3’:设?an?是等差数列，Ｓn是数列?an?的前n项和，其中Ｓp、Ｓm、Ｓn

Sp??Snn满足??Sp?mp（???1），则m?m1??m?n。

证明：因为Sn?na1?n(n?1)ddd =?n2?(a1?)n 222Sn?S??An?B，所以数列?n?是等差数列， n?n?Sp??Snn那么Sn=An2+Bn，即

由命题3，即有

Smp?m1??。

高二Ａ数学讲义第十四讲（130802）课后作业

（本试卷共14题，时间45分钟，满分100分）

班级： 姓名：

一、选择填空题(每小题5分,共12个小题,共60分)

1、已知P点分有向线段所成的比为

1，则点B分有向线段3所成的比为（ ）

A． B． C． D．

2、设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为λ，则（ ）

A．λ＜－1 B．－1＜λ＜0 C．0＜λ＜1 D．λ＞1 第 13 页 共 18 页

3、连结点A(2，3)、B(7，－2)得线段AB，再延长到点C(x，y)，使，则点C的坐标是（ ）

A．(－12，7) B．(－12，－7) C．(12，－7) D．(12，7)

4、已知点A(1，2)、B(4，5)，点C(2，3)分线段AB成两部分，其中，则λ的值是（ ）

A． B． C． D．

5、如果△ABC的顶点坐标分别是A(4，6)、B(－2，1)、C(4，－1)，则重心的坐标是（ ）

A．(2，1) B．(2，2) C．(1，2) D．(2，4)

6、若点A分的比和点C分的比恰好互为倒数，则点B分的比为（ ）

A．1 B．2或 C．2或－2 D．不确定

7、已知点P（1，1）分有向线段的比为－3，且A（0，0），则B点坐标为（ ）

A． B． C．(－3，－3) D．(3，3)

8、点P分的比为，Q为线段PM的中点，则N分的比为（ ）

A． B． C． D．

9、已知点A(x，5)关于点P(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点(x，y)到原点的距离是（ ）

A． B． C．4 D．

第 14 页 共 18 页

10、已知点P(4，－9)与Q(－2，3)，则直线PQ与y轴的交点分有向线段所成的比为（ ）

A． B．

C．2 D．3

11、已知A、B、C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为____________．

12、已知O(0，0)和A(6，3)两点，若P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则B点的坐标是____________．

13、已知△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为P(3，－2)、Q(1，6)、R(－4，2)，则顶点A的坐标为___________．

14、已知平面上有A(－2，1)、B(1，4)、D(4，－3)三个点，又有一点C在上，使，连结DC，并延长到E，使

，则E点的坐标为______________．

二、解答题

1、已知平行四边形的三个顶点是A(3，－2)、B(5，2)、C(－1，4)．求它的第四个顶点D的坐标．

2、已知两点A(3，－4)、B(－9，2)，在直线AB上求一点P，使得．

3、已知M为△ABC的边AB上一点，且．求点M分所成的比．

4、在□ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，利用定比分点坐标证明：AE、AF三等分BD．

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