线段的定比分点公式的应用（精品绝对好）

线段的定比分点公式的应用

一、难点知识剖析

（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x1，y1)是起点的坐标，(x2，y2)是终点的坐标，(x，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．

（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ

1、由坐标确定：??x?x1y?y1分点坐标?起点坐标??

x2?xy2?y终点坐标?分点坐标????????|P1P|P1P|?|?????PP2、由PP确定：先求（不能错误的表示为12|PP2|PP2）再据P2的方向决定λ的符号． 1P与PP????????PP??PP2，求点P的坐标. 例：设点P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，点P是直线 P1P2 上任意一点，且满足 1

（三）、特殊情况的分析

1、λ＝0时，分点P与起点P1重合

2、λ＝1时，分点P为线段P1P2的中点

3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P1、P2重合，与P1P2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)

4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P不可能与终点P2重合

二、例题讲解

例1、已知点A分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A分的比；（2）B分的比；（3）C分的比．

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分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然． 解答：因为 A分

的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示）

例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．

求证：线段定比分点向量公式

证明：∵ P分

所成比为λ，

例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分求向量

的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，

的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）

分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要

的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量

．

能确定E分有向线段

解答： 如图所示，

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∵D点内分的比为，

设E分有向线段的比为λ，

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由题设条件可知：

例5．已知a、b不共线，OA?a?b，OB?2a?b，将符合下列条件的OC向量写成ma?nb的形式：

（1）点C分AB所成的比??2，求OC； （2）点C分BA所成的比???3，求OC. 分析：借助定比分点的概念解题。

解：（1）由AC??CB，得OC?OA??OB?OC， 即 OC???1?OA?OB. 1??1??第 4 页 共 18 页

1212OA?OB??a?b???2a?b?， 1?21?23351 即 OC?a?b.

331?1（2）由上可知OC??2a?b???3?a?b? OB?OA?1??1??1?31?31即 OC?a?2b.

1?2 故 OC?小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了OC?1?OA?OB1??1??这个与定比?有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式. 值得注意的是，这个

等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。

例6、如图所示，已知直线l过点P(4,?9)和点Q(?2,3)，l与x轴，y轴交于M点和N点．求：点M分PQ所成的比?，点N的坐标．

分析：设点M(x0,0)，则可由??分点坐标公式，求得yN．

解：设点M(x0,0)

yM?yP可求得?的值．同样方法可求N点分PQ所成的比??再用定比

yQ?yM?P(4,?9)，Q(?2,3)，

?点M分PQ所成的比

??0?(?9)?3

3?0设N点分PQ所成的比为??，同理可得???2

?yN??9?2?3??1

1?2?N点坐标是(0,?1)

小结：记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以?．本题也可以这样求点M分PQ所成的比?，

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