设M(x0,0)，根据定比分点坐标分式得
4?2??1x?,?0?x??,??01?? 解之2 ????O??9?3?.???3.?1???在求?时也要注意讨论
如已知点P在直线MN上，且MP?2PN，求点P分MN所成的比?． （1）当P点在M、N之间时，??MPPN?2；
（2）当P点在MN延长线上时，???
MPPN??2.
例7、如图所示，已知矩形ABCD中，A(2,1)，B(5,4)，C(3,6)，E点是CD边的中点，连结BE与矩形的对角线AC交于F点，求F点坐标．
分析：F点在AC上，若知道F点分AC所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求F点坐标，由题意知
?ABF∽?CEF且AB?2CE，由此知AF?2CF，即F点分AC所成的比??2．
解：?四边形ABCD是矩形，E是CD边的中点，??ABF∽?CEF，且AB?2CE
?AF?2CF
即点F分AC所成的比??2
设F(x,y)．由A(2,1)，C(3,6)，根据定比分点坐标公式得
2?2?381?2?613?，y??
1?231?23813?F点坐标是(,)
33x?小结：同理点F分BE所成的比??2，由此可求得E点坐标是(,)，再由中点坐标公式可求得D点坐
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3922
标是(0,3)．在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具．E点和D点坐标，也可根据EC?所以
1AB和DC?AB求得，当然F点坐标也可根据AF?2FC求得，即(x?2,y?1)?2(3?x,6?y)，2?x?2?2(3?x),813解之，． x?y??y?1?2(6?y).33?例8．若直线y??ax?2与连接P??2,1?、Q?3,2?两点的线段有交点，求实数a的取值范围．
分析：当直线与线段PQ有交点时，这个交点分有向线段PQ所成的比?不小于0，从而得到关于a的不等式，但应注意考虑端点的情况．
3. 24 当直线过Q点时，有?3a?2?2，∴a??.
3 解：当直线过P点时，有2a?2?1，∴a?当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点M分PQ的比为?，它的坐标为M?x0,y0?，则
?2?3?1?2?，y0?.
1??1??1?2??2?3? 而直线过M点，则??a??2，
1??1??2a?3 整理，得??.
3a?42a?343 由??0，得?0，解得a??或a?.
3a?43243 故所求实数a的取值范围为a??或a?。
32x0?小结： (1)定比?的符号是求解本题的关键．应当注意，当点P在线段P当点P在线段P1P2上时，??0；1P2或P2P1的延长线上时，??0. 切不可将之混为一谈．
（2）恰当地利用定比?的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题．
例9．已知?ABC的三顶点坐标分别为A?1,1?，B?5,3?，C?4,5?，直线l//AB，交AC于D，且直线l平分?ABC的面积，求D点坐标．
分析：本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定D分CA的比，再利用公式求解．
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解：设直线交BC于E，依题意，S?CDE:S?CAB?1:2，又因为DE//AB，故?CDE∽?CAB，所以
CD:CA?1:2，CD:AD?2?1． 即点D分CA的比为??2?1．
设D的坐标为?x,y?，由定比分点公式有x?4?2?18?325?2?1??5?22． ，y?21?2?11?2?1 ∴ D点的坐标为???8?32?,5?22?．
??2?小结：求解定比分点坐标的关键是求出定比?的值． 求?的值，除注意?的符号外，还常常用到平面几何
知识，如相似形的性质，比例线段等等．
例10．已知A?2,3?，B??1,5?，且AC?分析：借助线段的定比分点式求解. 解：设C?x1,y1?，D?x2,y2?. 由AC?1AB，AD?3AB，求点C、D的坐标. 31111AB，可得AC?AC?CB，即AC?CB，??. 33221?2????1??2?1,?x1?1?1??2 ?
1?3??511?y?2?.1?131??2??? 运用定比分点公式可知
仿上可求得 x2??7，y2?9 综上可知，欲求C、D两点坐标为C?1,?11??，D??7,9?. 3??小结：对于本题欲求C点的坐标时，也可以由AC?1AB，得到BA??3AC，从而由定比公点公有3第 8 页 共 18 页
?1???3?x1?2?,?111?1?3得x1?1，y1?. 同理，也可以由BA??AD求得D点坐标，这表明，我们在利用定点?33?3?5???3?y1,?1?3?比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。
例11 、已知?ABC的三个顶点的坐标为A(0,0),B(4,0),C(3,6,)，边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F，且?ABC的重心为G，求：
（1）AE,BF,CD； （2）GA,GB,GC； （3）AE?BF?CD； （4）GA?GB?GC．
分析 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点D,E,F的坐标，再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量．
解 ∵A(0,0),B(4,0),C(3,6,)，且D,E,F分别为AB,BC,CA的中点，G为?ABC的重心， ∴D(2,0),E(,3),F(,3)． 重心G?7232?0?4?30?0?6??7?，即,G??,2?．
33???3?（1）AE?(77?0,3?0)?(,3) 2235BF?(?4,3?0)?(?,3)
22CD?(2?3,0?6)?(?1,?6)
77,0?2)?(?,?2) 3375GB?(4?,0?2)?(,?2)，
3372GC?(3?,6?2)?(,4)
337575（3）AE?BF?CD?(,3)?(?,3)?(?1,?6)?(??1,3?3?6)?(0,0)
2222（2）GA?(0??AE?BF?CD?0
（4）GA?GB?GC?(?752752,?2)?(,?2)?(,4)?(???,?2?2?4)?(0,0) 333333第 9 页 共 18 页
?GA?GB?GC?0
小结：本题中的（3），（4）具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论（3）与（4）本身有着必然的联系，因为G为?ABC的重心，AE是?ABC的中线，故A,G,E三点共线，而且AG?2AE，即3222GA??AE，同理GB??BF,GC??CD．
3332故 GA?GB?GC??(AE?BF?CD)?0．
3
例12.已知a?1,b?1，求证：
a?b?1。
1?ab???a?b证明：设A(?1),B(1),P()是数轴上的三点，P分AB 的比是?，则
1?aba?b?1?? ?1?ab1??a?b?(?1)a?b?ab?1(a?1)(b?1)1?ab ?????a?bab?a?b?1(a?1)(b?1)1?1?ab????a?1,b?1???0,P是AB的内分点，
?a?ba?b在-1与1之间，即?1。
1?ab1?ab例13.已知x=a+bc,a?b且c?0,c??1,求证：x?[a,b]。 1+c???证明：设A(a),B(b),P(x)是数轴上的三点，P是AB的定比分点，则定比
a?bc?ax?a1?c ????c?0 b?xb?a?bc1?c??? ?P是AB的外分点，则 x?[a,b]。 对于函数y=f(x),如果能够化为y?y??y2m?n?t(x)(t(x)??1)，就与y?1的形式完全相同
1?t(x)1??P1P?t(x)，PP2（只须把t(x)看成?），用数轴上两点P1、P2分别表示m、n，不妨设m
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