行列式的若干应用(4)

湖南理工学院 本科毕业论文

x1x2?xny1y2?ynz1z2?znt1t2?tn

此点组的相关位置与坐标做成的矩阵

?x1??x2X?????x?ny1y2?ynz1z2?znt1??t2? ???tn??的秩r有关系. 分别叙述如下:

（Ⅰ）当r?0, 则n个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置. （Ⅱ）当r?1, 假定x1?0, 很容易推得(因为X中所有的二阶行列式等于0)

x1xi?y1yi?z1zi?t1ti.(i?2,3,4,?,n)

上式表示n个点全重合. （Ⅲ）当r?2, 并假设

x1x2y1y2?0,

因X中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得li,mi,ni适合以下方程：

?lix1?mix2?nixi?0,??liy1?miy2?niyi?0,??liz1?miz2?nizi?0,?lit1?mit2?niti?0,?(i?3,4,?,n),

式中ni不等于0, 否则行列式

x1y1x2y2

将等于0. 故可求得

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xi??yi??zi??ti??1ni1ni1ni1ni(lix1?mix2),(liy1?miy2),

(liz1?miz2),(lit1?mit2).假设点(x1,y1,z1,t1)及(x2,y2,z2,t2)的连线为

?A1x?B1y?C1z?D1t?0, ?Ax?By?Cz?Dt?0,222?2把(xi,yi,zi,ti)的等值代入上式, 易验证点(xi,yi,zi,ti)在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因i可以是2,3,4,?,n, 所以n个点全在一直线上. （Ⅳ）当r?3, 并假定

x1x2x3y1y2y3z1z2?0, z3X中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得li,mi,ni,ki适合下式：

?lix1?mix2?nix3?kixi?0,??liy1?miy2?niy3?kiyi?0, ?lz?mz?nz?kz?0,i2i3ii?i1?lit1?mit2?nit3?kiti?0,?式中ki不等于0, 否则行列式

x1x2x3y1y2y3z1z2?0. z3从以上方程组求得：

xi??yi??1ki1ki(lix1?mix2?nix3),

(liy1?miy2?niy3),第13页,共15页

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zi??ti??1ki1ki(liz1?miz2?niz3),

(lit1?mit2?nit3).设点(x1,y1,z1,t1),(x2,y2,z2,t2)及(x3,y3,z3,t3)所确定的平面是

Ax?By?Cz?Dt?0.

把xi,yi,zi,ti的等值代入上式, 甚易验明点(xi,yi,zi,ti)在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为i可以是4,5,6,?,n, 所以n个点共在一个平面上. （Ⅴ）当r?4, X中至少有一个四阶行列式如

x1x2x3xiy1y2y3yiz1z2z3zit1t2t3ti?0.

i是4,5,6,7,?,n中任一个数. 以上不等式表示点(xi,yi,zi,ti)不在前三个点所确定

的平面上, 因为假设点(xi,yi,zi,ti)在平面

Ax?By?Cz?Dt?0

上, 则以下关系成立.

?Ax1?By1??Ax2?By2??Ax3?By3?Axi?Byi??Cz1?Dt1?0,?Cz?Cz23?Dt2?0,?Dt3?0,

?Czi?Dti?0,也就是行列式

x1x2x3xiy1y2y3yiz1z2z3zit1t2t3ti?0.

这与假设矛盾.

致谢 本文是在周立仁副教授的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!

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参考文献

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[3]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003. [4]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2003. [5]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央民族大学出版社, 2002. [6]徐岳灿. 关于行列式的若干应用[J]. 上海中学数学, 2004(3), 40-41. [7] 梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 毕节学院学报, 2006(4), 27-28. [8]彭丽清. 行列式的应用[J]. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.

[9]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008(3), 9-10.

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