行列式的若干应用

行列式的若干应用

The Number of Applications of The Determinants

专 业: 数学与应用数学

作 者: 蔺绍俄

指导老师: 周立仁

湖南理工学院数学与应用数学系

二○○九年五月 岳阳

湖南理工学院 本科毕业论文

摘 要

行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用. 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组

I

证湖南理工学院 本科毕业论文

Abstract

Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry.

Keywords: Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group

II

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目录

摘 要 .................................................................. I Abstract ................................................................ II 0 引言 ................................................................... 1 1 行列式在线性方程组中的一个应用 ......................................... 1 2 行列式在初等代数中的几个应用 ........................................... 2

2.1 用行列式分解因式 .................................................. 2 2.2 用行列式证明不等式和恒等式 ........................................ 3 3 行列式在解析几何中的几个应用 ........................................... 4

3.1 用行列式表示公式 .................................................. 4 3.2 行列式在平面几何中的一些应用 ...................................... 6 3.3 行列式在三维空间中的应用 .......................................... 8 参考文献 ................................................................ 15

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0 引言

行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文[2])、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、n维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.

1 行列式在线性方程组中的一个应用

设含有n个变元的n?1个一次线性方程组为

?a11x2?a12x2?????a1nxn?0,??a21x1?a22x2?????a2nxn?0, （1） ???????an?1,1x1?an?1,2x2???an?1,nxn?0.? 设方程组（1）的系数矩阵A的秩是n?1, 不失一般性, 假定不等于零的n?1阶行列式是

a12A1?a22?an?1,2a13a23?an?1,3???a1na2n?an?1,n .

行列式A1中的元素, 就是矩阵A中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.

我们把x2,x3,?,xn看作是未知数, x1是已知数, 解方程组(1), 得

xidi??x1A1 (i?2,3,?,n) （2）

式中di是行列式d1的第i?1列元素换以a11,a21,?,an?1,1所成的行列式. 也就是

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