湖南理工学院 本科毕业论文
a12di?a22?an?1,2a13a23?an?1,3???a1,i?1a2,i?1?an?1,i?1a11a21?an?1,1a1,i?1a2,i?1?an?1,i?1???a1na2n?an?1,n.
把di中第i?1列移到第一列, 得
a11di?(?1)i?2a12a22?an?1,2??a1,i?1a2,i?1?an?1,i?1a1,i?1a2,i?1?an?1,i?1??a1na2n?an?1,na21?an?1,1.
??上式右边的行列式用Ai表示, 行列式Ai是矩阵A中去掉第i列剩余下的元素所组成. 故
di?(?1)i?2Ai.
代入（2）式, 得
xi(?1)i?2Ai??x1A1, 或
xi(?1)i?1Ai?x1A1.
结论[2]: 方程组（1）中的x1,x2,?,xn与A1,?A2,A3,?,(?1)n?1An成比例, 式中
Ai(i?1,2,?,n) 是从矩阵A中去掉第i列剩余下的元素做成的行列式.
2 行列式在初等代数中的几个应用
2.1 用行列式分解因式
利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.
例2.1.1 分解因式：ab2c3?bc2a3?ca2b3?cb2a3?ba2c3?ac2b3. 解 原式?abc(bc2?b2c)?(a2c?ac2)?(ab2?a2b)
?abcbc(c?b)?ab(a?c)?ab(b?a)
cb11ac11ab11?abcbc?ac?ab
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bc?abcabacacb1bcac?ab?a10 01?abcab?bc1ac?bc?abc(ab?bc)(b?a)?(ac?bc)(c?a) ?abcb(a?c)(b?a)?c(a?b)(c?a)
?abc(a?b)(c?a)(b?c).
例2.1.2 分解因式: (cd?ab)2?4bc(a?c)(b?d).
解 原式?cd?ab2(bc?cd)cd?ab2(bc?cd)2(ab?bc)cd?ab
?ab?cd?2bc?(ab?cd?2bc)cd?ab2(bc?cd)1?1
?(ab?cd?2bc)
?(ab?cd?2bc)2.
2.2 用行列式证明不等式和恒等式
我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.
例2.2.1 已知a?b?c?0, 求证a3?b3?c3?3abc. 证明 令D?a3?b3?c3?3abc, 则
aD?cbbaccbar1?r2?r3a?b?c?cba?b?caca?b?cba0?cb0ac0b?0. a命题得证.
例2.2.2 已知ax?by?1,bx?cy?1,cx?ay?1, 求证ab?bc?ca?a?b?c. 证明 令D?ab?bc?ca?(a2?b2?c2), 则
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aD?cbbac?1?1?1c3?c1x?c2ya?cbbacax?by?1abac00?00cx?ay?1?cbx?cy?1b
命题得证.
例2.2.3 已知a?b?c?0, 求证b3a?c3b?a3c?a3b?b3c?c3a. 证明 令D?a3b?b3c?c3a?(b3a?c3b?a3c), 则
abbcb2caa2c2?c1c3?c1ab?c2bc?aba?c022ca?abb?c022 D?c2?bc?aba?c22ca?abb?c22
1111?b(c?a)(b?c)(b?c)?a(c?b)(a?c)(a?c)?(b?c)(a?c)(a?b?c)(a?c)
而a?b?c?0, 则D?0, 命题得证.
3 行列式在解析几何中的几个应用
3.1 用行列式表示公式
3.1.1 用行列式表示三角形面积
以平面内三点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)为顶点的?PQR的面积S是
12x1x2x3y1y2y311 (3) 1的绝对值.
证明 将平面P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)三点扩充到三维空间, 其坐标分别为
(x1,y1,k),(x2,y2,k),(x3,y3,k), 其中k为任意常数. 由此可得：
????????PQ?(x2?x1,y2?y1,0), PR?(x3?x1,y3?y1,0)
则
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????????PQ?PR?(0,0,x2?x1y2?y1x3?x1y)
3?y1?PQR面积为
1????????????????S?2PQPRsin?PQ,PR?
=1????????1x2?x1y22?y12PQ?PR?2xy 3?x13?y11xx12?x1y2?y11y11 ?2xx2?x13?x1y?2y2?y10
3?y1x3?x1y3?y10x1y11 ?12x2y21 .
x3y31
3.1.2 用行列式表示直线方程
直线方程通过两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)的直线PQ的方程为
x1y11x2y21?0. xy1证明 由两点式, 我们得直线PQ的方程为
x?x2x?y?y21?x2y.
1?y2将上式展开并化简, 得
xy1?xy2?x1y?x2y?x2y1?x1y2?0
此式可进一步变形为
xy1111x1y1y21?yxx21?x2y?0
2此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.
3.1.3 应用举例
例 若直线l过平面上两个不同的已知点?(x1,y1), ?(x2,y2), 求直线方程.第5页,共15页
4）（
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解 设直线l的方程为ax?by?c?0, 不全为0, 因为点?(x1,y1),?(x2,y2)在直线l上, 则必须满足上述方程, 从而有
?ax?by?c?0,??ax1?by1?c?0, ?ax?by?c?0.2?2这是一个以a,b,c为未知量的齐次线性方程组, 且a,b,c不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即
xx1x2yy1y211?0. 1则所求直线l的方程为
xx1x2yy1y211?0. 1同理, 若空间上有三个不同的已知点?(x1,y1,z1),?(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3), 平面
S过?,?,C, 则平面S的方程为
xx1x2x3yy1y2y3zz1z2z31111?0.
同理, 若平面有三个不同的已知点?(x1,y1),?(x2,y2),C(x3,y3), 圆O过?,?,C, 则圆O的方程为
x?y2222222xx1x2x3yy1y2y31111?0.
x1?y1x?y222x3?y3
3.2 行列式在平面几何中的一些应用
3.2.1 三线共点
平面内三条互不平行的直线
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