湖南理工学院 本科毕业论文
L1L2L3a1x?b1y?c1?0,a1a3b1b2b3c1c2?0. c3a2x?b2y?c2?0,相交于一点的充要条件是a2a3x?b3y?c3?0.3.2.2 三点共线
x1y1y2y311?0. 1 平面内三点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)在一直线的充要条件是x2x33.2.3 应用举例
例 平面上给出三条不重合的直线:
L1L2L3a1x?b1y?c1?0a1a3b1b2b3c1c2?0, 则这三条直线不能组成三角形. c3a2x?b2y?c2?0, 若a2a3x?b3y?c3?0证明 设L1与L2的交点为P(x1,y1), 因为
a1a2a3b1b2b3c1c2?0, c3将第1列乘上x1, 第2列乘上y1, 全加到第3列上去, 可得：
a1a2a3b1b2b3a1x1?b1y1?c1a2x1?b2y1?c2?0. a3x1?b3y1?c3因为P在L1与L2上, 所以a1x1?b1y1?c1?0, 且
a1a2b1b2a1?a2a3b1b2b300a3x1?b3y1?c3?0
a2x1?b2y1?c2?0?(a3x1?b3y1?c3)若
a1a2b1b2?0?a1a2?b1b2?L1与L2平行, 若a3x1?b3y1?c3?0?P也在L3上?L1,L2,L3交于一点,无论何种情形, 都有L1,L2,L3不组成三角形.
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a1b1b2b3c1c2?0, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条c3这说明由a2a3直线不能组成三角形.
3.3 行列式在三维空间中的应用
3.3.1 平面组
设由n个平面方程构成的方程组为
?a1x?b1y?c1z?d1?0,??a2x?b2y?c2z?d2?0, （5） ????????anx?bny?cnz?dn?0.? 若方程组(5)中的x,y,z各代以,txyt,zt, 并用t(t?0)乘以(5)式两端: 得
?a1x?b1y?c1z?d1t?0,??a2x?b2y?c2z?d2t?0, （6） ????????anx?bny?cnz?dnt?0.?(x,y,z,t)叫做点(x,y,z)的齐次坐标.
这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的
两矩阵
?a1??a2A?????a?nb1b2?bnc1??a1??c2??a2 及 B????????acn???nb1b2?bnc1c2?cnd1??d2?? ??dn??的秩r(A)及r(B)有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当r(A)?r(B)?0, 则方程组中各系数全是0.
(Ⅱ)当r(A)?0,r(B)?1, 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解t?0.当
t?0,
xt,
yt,
zt将趋近于无穷大（假设t趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这n个平
面在无穷远重合.
(Ⅲ)当r(A)?r(B)?1, 则在矩阵A及B中所有二阶行列式全是0. 所以我们有
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aiaj?bibj?cicj?didj.(i,j?1,2,?,n)
以上等式表示n个平面相合成一个平面a1x?b1y?c1z?d1?0.
(Ⅳ)当r(A)?1,r(B)?2, 方程的系数中至少有两组数如ai,bi,ci,di及
aj,bj,cj,dj满足以下关系式
aiaj?bibj?cicj?didj.
上式表示平面
aix?biy?ciz?di?0,ajx?bjy?cjz?dj?0.
平行但不相合. 也就是平面组中n个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合. (Ⅴ)r(A)?2,r(B)?2, 则矩阵A及B中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设
a1a2b1b2?0.
我们必可求得li,mi,ni适合下式：
?lia1??lib1??lic1?lid1??mia2?niai?0,?mib2?nibi?0,?mic2?nici?0,?mid2?nidi?0.(i?3,4,?,n)
式中ni?0, 否则行列式
a1a2b1b2
将等于0. 所以
aix?biy?ciz?dit??1ni?li(a1x?b1y?c1z?d1)?mi(a2x?b2y?c2z?d2)?.
以上等式表示平面
aix?biy?ciz?di?0,(i?3,4,?,n).
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经过直线
?a1x?b1y?c1z?d1?0, ??a2x?b2y?c2z?d2?0,就是n个平面全经过一条直线. （Ⅵ）当r(A)?2,r(B)?3, 并假定
a1a2b1b2?0
方程组的系数至少有一组ai,bi,ci,di适合以下关系：
a1a2aib1b2bic1cia1aib1b2bic1c2?0（i是3,4,?,n中的一数） cic2?0,a2以上第一个等式表示组中第i平面
aix?biy?ciz?di?0,
与直线
?a1x?b1y?c1z?d1?0, ??a2x?b2y?c2z?d2?0,平行. 又因第二个不等式表示第i平面不经过上述直线, 所以n个平面有平行的交线.例如由方程组
?a1x?b1y?c1z?d1t?0,??a2x?b2y?c2z?d2t?0, ?ax?by?cz?dt?0,iii?i解得
xb1b2b3c1c2c3d1d2d3?yc1?c2c3d1d2d3a1a2a3?zd1d2d3a1a2a3b1b2b3?ta1?a2a3b1b2b3c1c2c3.
因为行列式
a1a2ab1b2b3c1c2?0. c3第10页,共15页
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而其它三个行列式不全是零故t?0, 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.
（Ⅶ）当r(A)?3,r(B)?3, 并假定
a1a2a3b1b2b3c1c2?0. c3在这种情况下, 平面
?a1x?b1y?c1z?d1t?0,??a2x?b2y?c2z?d2t?0, ?ax?by?cz?dt?0,333?3相交于一点. 又因
a1a2a3aib1b2b3bic1c2c3cid1d2d3di?0,（i?4,5,?,n）
故平面
aix?biy?ciz?di?0
经过前面三个平面的交点, 就是n个平面有一个交点, 不在无穷远.
（Ⅷ）当r(A)?3,r(B)?4, 则矩阵B中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设
a1a2a3aib1b2b3bic1c2c3cid1d2d3di?0.（i是4,5,?,n中的一数）
以上不等式表示平面
aix?biy?ciz?di?0,
不经过前三个平面的交点.
3.3.2 点组
设有n个点, 它们的齐次坐标各是
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