优化设计复习资料有答案

现代设计方法参考书目:

1、陈继平. 现代设计方法， 华中科技大学出版社。 2、高健. 机械设计优化基础， 科学出版社，2007，9

3、刘惟信. 机械最优化设计，第二版，清华大学出版社。 第一章习题

例2 某工厂生产甲乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见表。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。

设每天生产甲产品x1件，乙x2件，利润为f(x1,x2) f(x1,x2)=60x1+120x2

每天实际消耗的材料、工时和电力分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)、g3(x1,x2)表示： g1(x1,x2)=9x1+4x2 g2(x1,x2)=3x1+10x2 g3(x1,x2)=4x1+5x2 于是上述问题可归结为： 求变量 x1,x2

使函数 f(x1,x2)= 60x1+120x2极大化 满足条件 g1(x1,x2)=9x1+4x2≤360

g2(x1,x2)=3x1+10x2≤300 g3(x1,x2)=4x1+5x2≤200 g4(x1,x2)=x1≥0 g5(x1,x2)=x2≥0

例3 一种承受纯扭矩的空心传动轴，已知传递的扭矩为T，试确定此传动轴的内外径，以使其用料最省。

例： 求下列非线性规划优化问题

优化设计的迭代算法

1、下降迭代算法的基本格式 k?1kk迭代公式 k

基本原理：从某一初始设计开始，沿某个搜索方向以适当步长得到新的可行的设计，如此反复迭代，直到满足设计要求，迭代终止。

?X??X???Sk?1kS(k)——第k步的搜索方向，是一个向量；X? X*??X?X*αk——第k步的步长因子，是一个数，它决定在方向S(k)上所取的步长大小。 简单的说：是一个搜索、迭代、逼近的过程。最关键的是搜索的方向和步长。 迭代算法的基本步骤：

1，选定初始点X(0)，令k=0; 2、在X(k)处选定下降方向S(k);,

3、从X(k)出发沿S(k)一维搜索，找到X(k+1)=X(k)+αkS(k), 使得f(X(k+1))

例：f (X)=x12+4x22，已知初始点X(0)=[1,1]T，搜索方向S(o)=[-2,-4]T，求X(1)=?

?1???2??1?2??(1)(0)(0) X?X??S???????????1???4??1?4?? (1)229f(X)?(1?2?)?4(1?4?)α? 36 8? ? 17X(1)??1 ??? 17迭代终止条件：迭代法收敛性

1）线性收敛性（2）二次收敛性（3）超线性收敛性 终止迭代收敛准则。

??????

第二章

2.1 函数的方向导数与梯度 一、 函数的方向导数

偏导数: 只描述函数沿特殊方向（x, y轴）的变化情况在许多实际问题中，常常要知道函数沿其它任一方向上的变化率——引入方向导数的概念。

方向导数定义：设函数f(x1,x2)是点X(0)的某个邻域上的函数，它与x轴夹角为θ1，与y轴夹角θ2，设X(1)为S上另一点，则||X(0)X(1)||=ρ=

如果极限

存在，则称这个极限为函数f(x1,x2)在点X(0)沿S的方向导数。 已知F(X)=X21+X22，取 ?2/2??cosα1???S???cosα2???????2/2??, 则在点处沿S方向的方向导数数值为（ ）

例题已知函数f(X)=

则其在点X=(2，1)T处梯度的模为【 】

例2-1 求二元函数f(x1, x2)＝x12+x22-4x1-2x2+5 在X0＝[2,2]处函数下降最快的方向。

解：梯度方向是函数变化率最大的方向。负梯度方向则是函数下降最快的方向。

例2-2 求二元函数f(x1, x2)＝(x1-2)2+(x2-1)2 在点X(1)=[3,2]T和X(2)=[2,2]T的梯度，并作图表示

作业：

1、求函数f (X)=x12+x22-6x1在点X(1)=[1,1]T, X(2)=[1,2]T, X(3)=[-2,1]T的梯度及其模，并作图表示。

2、求

例2-2 ?求二元函数f(x1, x2)＝x12+x22-4x1-2x2+5 在X0＝[2,2]T处的海赛二阶泰勒展开式。

22f (X0)?2?2?4*2?2*2?5?1?

??f(X0)? ????2x1?4??0??x1 ?????f(X0)?????????? ??f(X0)??2x2?2??2???

?x2?? ??22 ??f(X0)?f(X0)??? 2??x1?x2?0??2??x1 ???H(X0)??2???2??02?f(X0)?f(X0) ????2??x2?x1?

?x2?? ????????TT1? f(X)?f(X0)??f(X0)(X?X0)?(X?X0)H(X2

T x?2x?20??x1?2?11?????21??????1??02?? ???????????2x?2x?202x?2?2??2????2?

22 ?x1?x2?4x1?2x2?5

二次函数 1TTf(X)?XHX?BX?C

2B为常数向量；H为nxn阶常数矩阵。XTHX称为二次型，H称二次型矩阵。 1）若有XTHX>0，则称矩阵H是正定的；

（2）若有XTHX≥0，则称矩阵H是半正定的； （3）若有XTHX<0，则称矩阵H是负定的； （4）若有XTHX≤0，则称矩阵H是半负定的； （5）若有XTHX＝0，则称矩阵H是不定的； 正定二次函数的性质：

1）正定二次函数的等值线或等值面是一族同心的椭圆或同心椭球。椭圆族或椭球族的中心就是该二次函数的极小点。

2）非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。 例：求解等式约束问题的最优解。解：

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