二维双曲型方程的隐格式解法(4)

二维双曲型方程的交替方向隐格式解法

证明 差分格式(5.19-1)——(5.19-4)是线性的.考虑 其齐次方程组

k?1k?1k?1k?1???4222ku?uu?uijijijij2k22???x?y?tuij=0 ?tuij???x??y??422??1?i,j?m?1, 1?k?n?1,

0uij?0， 0?i,j?m， 1uij?0， 0?i,j?m，

kDt?vij?0， (i,j)??, 1?k?n?1,

由定理5.2.1，有

k?1/2h2??tuiji,j?1m?1??1?k?12?4h2k2???u?u??11?2?41k???2?DxDy?tu11?.?0 ??i?,j??i,j?0?22?m?11?k?n，

易知

kuij?0, 0?i,j?m, 1?k?n.

因而差分方程组是(5.19-1)——(5.19-4)唯一可解的.

4.2收敛性

定理5.2.3设u(x,y,t)0?x,y?1,0?t?T为定解问题(5.16-1)——

k(5.16-3)的解，uij,0?i,j?m,0?k?n?为差分格式(5.19-1)——(5.19-4)

?的解.

记

kk， 0?i,j?m, 0?k?n， eij?u(xi,yj,tk)?uij则对任意的步长比s??/h,有

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巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

2?k?1?21k?12?3??73?22??h???teij????e1?ek1???exp?T???T?c2(?2?h2)2,

?2??2??42?i,j?1??m?11?k?n?1,

其中c由(5.18-1)——(5.18-5)定义.

证明 将(5.17-1)——(5.17-4)的分别与(5.19-1)——(5.19-4)相减，可得误差方程

k?1k?1k?1k?1???4222ke?ee?eijijijij2k22k???x?y?teij??ij?teij???x??y ??422??1?i,j?m?1, 1?k?n?1,

0eij?0， 0?i,j?m， 1eij?0， 0?i,j?m，

k?t?eij?0， (i,j)??, 1?k?n?1,

由定理5.2.1有

42?k?1?1?k?12?h2k2?2?h???e?e?e????tij?2?11?4i,j?1??m?121k???2? ?x?y?te11???i?,j??i,j?0?22?m?12

?e

3k?21?m?11?12?4h22202?2?h?(?teij)??e?e??1?2?14?i,j?1?21??3k?12m?1l2?2??x?y?te11?+??h??ij ???i?,j??2l?1i,j?1?i,j?0?22??m?1??1?k?n?1,

应用(5.18-1)——(5.18-5)可得

?k?1?1?k?12?3??73?2k2?2??h???teij???e?e??exp?T???T?c2(?2?h2)2,

11?2??2??42?i,j?1??m?121?k?n?1,

定理证毕.

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二维双曲型方程的交替方向隐格式解法

4.3稳定性

定理5.2.4差分格式(5.19-1)——(5.19-4)对任意的步长s在下述意义下

k对初值和右端函数是稳定的：设uij,0?i,j?m,0?k?n?为差分方程组

k?1k?1k?1k?1???4222ku?uu?uijijijij2k22???x?y?tuij=fijk ?tuij???x??y??422???1?i.j?m?1, 1?k?n?1,

0uij??ij， 0?i,j?m， 1uij??ij， 0?i,j?m， kDt?vij?0， (i,j)??, 1?k?n?1,

的解，则有

142k???1?k?12?h2k2?2?h???u?u?u????tij?11?2?4i,j?1??m?13k?221k???2? ?x?y?tu11???i?,j??i,j?0?22?m?121?k?1??23l??x?y?tu211?+??f ?， ??i?,j??2l?1?i,j?0?22??m?12?e142?m?1221?h22102?h?(?tuij)???u1?u1????2?4?i,j?1?0?k?n?1,

证明直接应用定理5.2.1.

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巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

参考文献

[1]陆金甫，关治.偏微分方程数值解法[M]．北京：清华大学出版社.2004． [2]LeVeque R J．Numerical Methods for Conservation Law s．Basel： Birkhauser Velag ，1990．

[3]徐长发，李红．偏微分方程数值解法[M]. 武汉: 华中科技大学出版社.2000． [4]李荣华. 偏微分方程数值解法[M]. 北京: 高等教育出版社.2010.

[5] 孙志忠，李雪玲. 反应扩散方程的紧交替方向的差分方法. 计算数学, 2005, 27(2):209–224.

[6]R．A．Adams．Sobolev Spaces[M]．New York：Academic Press，(1975)． [7] 张志跃. 一类非线性发展方程的交替分段显隐并行数值方法. 计算力学学报, 2002,19(2):154–158.

[8] Deng D, Zhang Z. A new high-order algorithm for a class of nonlinear evolution equation. J. Phys.A: Math. Theor., 2008, 41:015202.

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Differential equations[J]．Numer．Methods for PDE，18(2002)，129-142．

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二维双曲型方程的交替方向隐格式解法

致谢

在我的论文设计过程中，陈淼超老师从选题指导、论文框架到细节修改，都给予了我细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议，老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。同时也感谢和我同组的组员，在设备上和技术上都给了我很大的帮助。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！

这篇论文是在老师的精心指导和同组的伙伴们以及学校图书馆的工作人员的大力支持下才完成的

感谢所有授我以业的老师，没有这些年知识的积淀，我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。感恩之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正，由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！

谨以此致谢最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢。

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